Замыкание отношения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Это старая версия этой страницы, сохранённая Lockywolf (обсуждение | вклад) в 12:06, 7 мая 2017 (Предлагаю перенести эту статью в "замыкание", по образцу английской вики.). Она может серьёзно отличаться от текущей версии.

(разн.) ← Предыдущая версия | Текущая версия (разн.) | Следующая версия → (разн.)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Необходимо перенести содержимое этой статьи в статью Замыкание_(алгебра) и заменить эту статью на перенаправление.

Вы можете помочь проекту, объединив статьи. В случае необходимости обсуждения целесообразности объединения, замените этот шаблон на шаблон {{К объединению}} и добавьте соответствующую запись на странице Википедия:К объединению. Пожалуйста, также проверьте историю правок.

Замыканием отношения $R$ относительно свойства $P$ называется такое множество $R^{*}$ , что:

$R\subset R^{*}$ .
$R^{*}$ обладает свойством $P$ .
$R^{*}$ является подмножеством любого другого отношения, содержащего $R$ и обладающего свойством $P$ .

Другими словами, $R^{*}$ — минимальное надмножество $R$ , выдерживающее $P$ .

Пример

Пусть на множестве $A=\{1,2,3,4\}$ $A=\{1,2,3,4\}$ задано отношение $R=\{(1,2),(3,4),(4,2)\}$ $R=\{(1,2),(3,4),(4,2)\}$ .
- Видно, что отношение $R$ не симметрично, не рефлексивно и не транзитивно.
- Замыканием $R$ относительно свойства симметричности является $R^{*}=\{(1,2),(3,4),(4,2);(2,1),(4,3),(2,4)\}$ .
- Замыканием $R$ относительно рефлексивности является $R^{*}=\{(1,2),(3,4),(4,2);(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}$ .
- Замыканием $R$ относительно транзитивности является множество $R^{*}=\{(1,2),(3,4),(4,2);(3,2)\}$ .