Внутренняя метрика
Внутренняя метрика — метрика в пространстве, определяемая с помощью функционала длины, как инфимум длин всех путей (кривых), соединяющих данную пару точек.
Определения
Пусть задано топологическое пространство и выбран класс некоторых допустимых путей , содержащийся во множестве всех непрерывных путей в .
- На пространстве задан функционал длины, если на множестве задана функция , ставящая в соответствие каждому значение (неотрицательное число или бесконечность), которое называется длиной пути .
- Метрика на пространстве называется внутренней, если для любых двух точек расстояние между ними определяется формулой где инфинум берётся по всех допустимым путям, соединяющим точки .
Связанные определения
- Пусть — две произвольные точки метрического пространства и — произвольное положительное число. Точка называется их -серединой, если
- Метрическое пространство называется геодезическим, если любые две точки можно соединить кратчайшей.
Свойства
- Если — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек и любого существует их -середина. В случае, когда метрическое пространство полное, имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек и любого существует их -середина, то эта метрика внутренняя.
- Полное метрическое пространство с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек и найдётся кривая длины соединяющая точки и . Кроме того, в полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
- Теорема Хопфа — Ринова: Если — локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любые две точки можно соединить кратчайшей. Более того, пространство является ограниченно компактным (то есть все ограниченные замкнутые подмножества являются компактными).
См. также
Литература
- Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4