Числа харшад

Число Харсхада — это натуральное число, делящееся нацело на сумму своих цифр. Таким числом является, например, 1729, так как 1729 = (1 + 7 + 2 + 9) × 91.

Очевидно, что все числа от 1 до 10 являются числами Харсхада.

Первые 50 чисел Харсхада, не меньших 10: 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200 — последовательность A005349 в OEIS.

Имеет смысл также рассматривать числа Харсхада в других системах счисления. Числа, которые являются числами Харсхада во всех системах счисления, называются обобщенными числами Харсхада. Их всего 4: 1, 2, 4, 6.

Оценка плотности распределения чисел Харсхада

Пусть $N(x)$ — количество чисел Харсхада, не больших $x$, тогда для любого ε > 0,

$x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}$

как показали Jean-Marie De Koninck и Nicolas Doyon; более того, De Koninck, Doyon и Kátai доказали, что

$N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}}$

где

$c={\frac {14}{27}}ln10\approx 1.1939$.