Окружность Аполлония

${\frac {d_{1}}{d_{2}}}={\textrm {const}}$

Окружность Аполлония — Первая окружность Аполлония - геометрическое место точек плоскости, сумма квадратов расстояний которых до двух заданных точек фиксированна. Вторая - геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная.

Пусть на плоскости даны две точки $A$ и $B$. Рассмотрим все точки $P$ этой плоскости, до каждой из которых

${\frac {|PA|}{|PB|}}=k$,

где $k$ — фиксированное положительное число. При $k=1$ эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку $AB$; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

Свойства

• Радиус окружности Аполлония равен $R={\frac {k}{|k^{2}-1|}}|AB|$
• Отрезок $PC$ между точкой на окружности и точкой пересечения ее с прямой $AB$ является биссектрисой самого угла $\angle APB$ или угла, смежного с ним.

Приложения

Практическое применение окружность Аполлония находит при решении задачи сближения на плоскости с использованием стратегии параллельного сближения.