Эрмитово сопряжённая матрица

Эрми́тово-сопряжённая ма́трица или сопряжённо-транcпони́рованная ма́трица — это матрица $A$ ^* с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы $A$ транспонированием и заменой каждого элемента комплексно-сопряжённым ему.

Эрмитово-сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае действительных пространств.

Определение и обозначения

Если исходная матрица $A$ имеет размер $m\times n$ , то эрмитово-сопряжённая к $A$ матрица $A^{*}$ будет иметь размер $n\times m,$ а её $(i,j)$ -й элемент будет равен:

\left(A^{*}\right)_{ij}={\overline {A_{ji}}},

где ${\overline {z}}$ обозначает комплексно-сопряжённое число к $z$ (сопряжённое число к $a+bi$ есть $a-bi$ , где $a$ и $b$ — действительные числа).

Эрмитово-сопряжённую матрицу обычно обозначают как $A^{*}$ или $A^{H}$ (H от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда используются и другие обозначения:

$A^{\dagger }$ — в квантовой механике;
$\!A^{+}$ — но это обозначение может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы;
${\overline {A}}^{T}$ .

Пример

Если

A={\begin{bmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{bmatrix}}

тогда

A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{bmatrix}}.

Связанные определения

Если матрица $A$ состоит из действительных чисел, то эрмитово-сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица:

A^{*}=A^{T},

если

a_{ij}\in \mathbb {R} .

Квадратная матрица $A$ называется:

эрмитовой, если $A^{*}=A$ ;
антиэрмитовой или косоэрмитовой, если $A^{*}=-A$ ;
нормальной, если $A^{*}A=AA^{*}$ ;
унитарной, если $A^{+}A=AA^{+}=I$ , где $I$ — единичная матрица, A^+ - эрмитово-сопряженная матрица.

Свойства

$(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$ для любых двух матриц $A$ и $B$ одинаковых размеров.
$(cA)^{*}={\overline {c}}A^{*}$ для любого комплексного скаляра $c\in \mathbb {C}$ .
$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$ для любых матриц $A$ и $B$ , таких, что определено их произведение $AB$ . Обратите внимание, что в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный.
$(A^{*})^{*}=A$ для любой матрицы $A$ .
Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово-сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.
$A$ обратима если и только если обратима матрица $A^{*}$ . При этом:
$\!(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}$
$\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle$ для любой матрицы $A$ размера $m\times n$ и любых векторов $x\in \mathbb {C} ^{n}$ и $y\in \mathbb {C} ^{m}$ . Обозначение $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.
Матрицы $AA^{*}$ и $A^{*}A$ являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы $A$ (необязательно квадратной). Если $A$ квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будет положительно-определёнными.