Координаты вектора

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

${\vec {a}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\vec {e}}_{i}$

${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$

где $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ — координаты вектора.

Свойства

• Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты
• Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

${\frac {a_{x}}{b_{x}}}={\frac {a_{y}}{b_{y}}}={\frac {a_{z}}{b_{z}}}\Rightarrow {\vec {a}}\|{\vec {b}}$

Подразумевается, что координаты вектора $b$ не равны нулю.

• Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:

$|{\vec {a}}|^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}$

• При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:

$k{\vec {a}}=\sum _{i=1}^{n}ka_{i}{\vec {e}}_{i}=(ka_{1},ka_{2},\ldots ,ka_{n})$

• При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:

${\vec {a}}+{\vec {b}}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i}){\vec {e}}_{i}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n})$

• Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

• Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$

где

${\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})$

${\vec {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})$

• Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

$({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}$