Циркуляция векторного поля

Циркуляцией некоего векторного поля называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по произвольному замкнутому контуру Γ. Итак, по определению

$C=\oint \limits _{\Gamma }{\mathbf {F} d\mathbf {r} }=\oint \limits _{\Gamma }{F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz}$

где $\mathbf {F} =\{F_{x},F_{x},F_{z}\}$ - некое векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области, содержащей в себе контур Γ, $d\mathbf {r} =\{dx,dy,dz\}$ - бесконечно малое приращение радиус-вектора $\mathbf {r}$. Кружок у знака интеграла подчеркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру.

Свойства циркуляции

Файл:Circulation-2.jpg

Свойство аддитивности циркуляции: циркуляция по контуру Г есть сумма циркуляций по контурам $\Gamma _{1}$ и $\Gamma _{2}$, т.е. $C=C_{1}+C_{2}$

Аддитивность

Циркуляция по контуру, ограничивающему несколько смежных поверхностей, равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим каждую поверхность в отдельности, т.е

$C=\sum \limits _{i}{C_{i}}$

Формула Стокса

Циркуляция вектора F по произвольному контуру Г равна потоку вектора $\operatorname {rot} \mathbf {F}$ через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

$\oint \limits _{\Gamma }{\mathbf {F} d\mathbf {r} =\iint \limits _{S}{(\operatorname {rot} }}\mathbf {F} ,\mathbf {n} )dS$

где

$\operatorname {rot} \mathbf {F} =[\nabla ,\mathbf {F} ]=\left|{\begin{matrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\\\end{matrix}}\right|$ - Ротор (вихрь) ветора F.

В случае, если контур плоский, напимер лежит в плоскости OXY, справедлива формула Грина

$\oint \limits _{\Gamma }{F_{x}dx+F_{y}dy}=\iint \limits _{\operatorname {int} \Gamma }{({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}})dxdy}$

где $\operatorname {int} \Gamma$ - плоскость, ограничиваемая контуром (внутренность контура).

Физическая интерпретапция

Файл:Circulation-1.jpg

Физическая интерпретация циркуляции: Работа поля по замкнутому контуру

Если F - некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным тогда и только тогда, когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, ротор этого поля есть нуль.

$\oint \limits _{\Gamma }{\mathbf {F} d\mathbf {r} }=0\Leftrightarrow \operatorname {rot} \mathbf {F} =\mathbf {0}$