Гладкое многообразие

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Определение

Пусть X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки $x\in X$ найдется её окрестность U, гомеоморфная открытому множеству пространства $\mathbb {R} ^{n}$, то X называется локальным евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности n. Пара $(U,\phi )$, где $\phi$ — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой X в точке х. Таким образом, каждой точке соответствует набор n действительных чисел $(x^{1},\ldots ,x^{n})$, которые называются координатами в карте $(U,\phi )$. Множество карт $\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,$ называется n-мерным $C^{k}$ — атласом $(0\leqslant k\leqslant \infty ,a)$ многообразия X, если:

• совокупность всех $U_{\alpha }$ покрывает X, $X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$
• для любых $\alpha ,\beta \in A$ таких, что $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing$, отображение:

$\phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$

является гладким отображением класса $C^{k}$; $\phi _{\alpha }^{\beta },$ является отображением, с отличным от нуля якобианом и называется преобразованием координат точки х с карты $(U_{\alpha },\phi _{\alpha })$ в карту $(U_{\beta },\phi _{\beta })\,.$

Два $C^{k}$-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует $C^{k}$-атлас. Совокупность $C^{k}$-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые $C^{k}$-структурами, при $1\leqslant k\leqslant \infty$ — дифференциальными (или гладкими) структурами, при k = a — аналитическими структурами.

Топологическое многообразие X, наделенное $C^{k}$-структурой, называется $C^{k}$-гладким многообразием.

Комплексные многообразия

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства $\mathbb {R} ^{n}$ более общих пространств $\mathbb {C} ^{n}$ или даже $K^{n}$, где $K$ — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае $K=\mathbb {C}$ рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) $C^{k}$-структуры ($k\geqslant 1$) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

Совместимые структуры

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней $C^{\infty }$-структура, и на $C^{\infty }$-многообразии,$0\leqslant k\leqslant \infty$, — $C^{r}$-структура, если $0\leqslant r\leqslant k$. Наоборот, любое паракомпактное $C^{r}$-многообразие, $r\geqslant 1$, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что $C^{0}$-многообразие нельзя наделить $C^{1}$-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например число θ(n) $C^{1}$-неизоморфных $C^{\infty }$-структур на n-мерной сфере равно:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
θ(n)	1	1	1		1	1	28	2	8	6	992	1

Отображение

Пусть $f:X\to Y$ — непрерывное отображение $C^{r}$-многообразий X, Y; оно называется $C^{k}$-морфизмом (или $C^{k}$-отображением, $k\leqslant r$, или отображением класса $C^{k}$) гладких многообразий, если для любой пары карт $(U_{\alpha },\phi _{\alpha })$ на X и $(V_{\beta },\psi _{\beta })$ на Y такой, что $f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }$ и отображение:

$\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })$

принадлежит классу $C^{k}$. Биективное отображение f, если оно и f⁻¹ является $C^{k}$-отображениями, называется $C^{k}$-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае X и Y и их $C^{r}$-структуры называются $C^{k}$-изоморфными.

Подмножества и вложения

Подмножество Y n-мерного $C^{k}$-многообразия X называется $C^{k}$-подмногообразием размерности m в X, если для произвольной точки $y\in Y$ существуют её окрестность $V\subset Y$ и карта $(U,\phi )$ $C^{k}$-структуры X, такие, что $V\subset Y$ и $\phi$ индуцирует гомеоморфизм V на пересечении $\phi (U\cap Y)$ с (замкнутым) подпространством $\mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}$; иными словами, существует карта с координатами $(x^{1},\ldots ,x^{n})$, такая, что $(U\cap Y)$ определяется соотношениями $x^{m+1}=,\ldots ,=x^{n}=0$.

Отображение $f:X\to Y$ называется $C^{k}$-вложением, если f(X) является $C^{k}$-подмногообразием в Y, а $X\to f(X)$ — $C^{k}$-диффеоморфизм. Любое n-мерное $C^{k}$-многообразие допускает вложение в $\mathbb {R} ^{2n+1}$, а также в $\mathbb {R} ^{2n}.$ Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений $C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})$ относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

Литература

• Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976;
• Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975;
• де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956;
• Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967;
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б.. Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;
• Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960;
• Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971;
• Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
• Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976;