Правильный 65537-угольник

65537-угольник или круг?

65537-угольник (шестѝдесятипятиты̀сячпятисо̀ттридцатисемиуго́льник) — геометрическая фигура из группы многоугольников. У него ровно 65537 углов и 65537 сторон.

Эта статья посвящена правильному 65537-угольнику. Дополнительные свойства такого многоугольника — то, что все его стороны и углы равны между собой и все его вершины лежат на одной окружности. По причине малости центрального угла, в графическом изображении правильный 65537-угольник почти не отличается от круга (см. иллюстрацию справа).

Построение

Отличительная особенность 65537-угольника — это тот факт, что его возможно построить, используя только циркуль и линейку. Кроме того, малого размера 65537-угольник теоритически возможно построить при помощи одного циркуля.

Число 65537 — это самое большое известное простое число Ферма:

$65537=2^{2^{4}}+1$.

Гауссом в 1836 году было доказано, что правильный многоугольник можно построить циркулем и линейкой, если число его вершин равно простому числу Ферма.

В 1894 же году Иоганн Густав Гермес после более чем десятилетних исследований нашёл способ построения правильного 65537-угольника и описал его в рукописи размером более 200 страниц (хранится в библиотеке Гёттингенского университета).

Данное событие нашло своё отражение в книге «Физики продолжают шутить»:

Один слишком навязчивый аспирант довел своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65 537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением (хранится в архивах в Геттингене).

Пропорции

Углы

Центральный угол равен   ${\frac {360^{\circ }}{65537}}\approx 0,005^{\circ }$.

Внутренний угол равен   ${\frac {(65537-2)}{65537}}\cdot 180^{\circ }\approx 179,995^{\circ }=180^{\circ }-0,005^{\circ }$.

Наглядное представление

Следующие соображения могут служить для иллюстрации пропорций практически не представимой фигуры:

• Отклонение центрального угла от 0°, а также отклонение внутреннего угла от 180° составляет всего лишь примерно 0,005°. Если приподнять за один конец лежащую на земле жердь длиной 100 м только на один сантиметр, то она образует с землёй примерно этот угол.
• Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 см, то его диаметр будет больше 200 м.
• Если нарисовать 65537-угольник диаметром 20 см, то длина одной его стороны окажется менее одной десятой толщины самого тонкого человеческого волоса.

Ссылки

• Johann Gustav Hermes (1894). "Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. 3. Göttingen: 170—186. {{cite journal}}: Шаблон цитирования имеет пустые неизвестные параметры: |1= (справка) (нем.)
• Weisstein, Eric W. 65537-угольник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.