Нормальный алгоритм

Норма́льный алгори́фм Ма́ркова — один из стандартизованных вариантов представления об алгорифме (алгоритме). Понятие нормального алгорифма введено А. А. Марковым в конце 1940-х годов.

Нормальные алгорифмы являются вербальными, то есть предназначенными для применения к словам в различных алфавитах. Определение всякого нормального алгорифма состоит из двух частей: определения алфавита алгорифма (к словам в котором алгорифм будет применяться) и определения его схемы. Схемой нормального алгорифма называется конечный упорядоченный набор т. н. формул подстановки, каждая из которых может быть простой или заключительной. Простыми формулами подстановки называются слова вида $L\to D$, где $L$ и $D$ — два произвольных слова в алфавите алгорифма (называемые, соответственно, левой и правой частями формулы подстановки). Аналогично, заключительными формулами подстановки называются слова вида $L\to \cdot D$, где $L$ и $D$ — два произвольных слова в алфавите алгорифма. При этом предполагается, что вспомогательные буквы $\to$ и $\to \cdot$ не принадлежат алфавиту алгорифма (в противном случае на исполняемую ими роль разделителя левой и правой частей следует избрать другие две буквы).

Примером схемы нормального алгорифма в пятибуквенном алфавите $|*abc$ может служить схема

$\left\{{\begin{matrix}|b&\to &ba|\\ab&\to &ba\\b&\to &\\{*}|&\to &b*&\\{*}&\to &c&\\|c&\to &c\\ac&\to &c|\\c&\to \cdot \end{matrix}}\right.$

Процесс применения нормального алгорифма к произвольному слову $V$ в алфавите этого алгорифма представляет собой дискретную последовательность элементарных шагов, состоящих в следующем. Пусть $V'$ — слово, полученное на предыдущем шаге работы алгорифма (или исходное слово $V$, если текущий шаг является первым). Если среди формул подстановки нет такой, левая часть которой входила бы в $V'$, то работа алгорифма считается завершённой, и результатом этой работы считается слово $V'$. Иначе среди формул подстановки, левая часть которых входит в $V'$, выбирается самая верхняя. Если эта формула подстановки имеет вид $L\to \cdot D$, то из всех возможных представлений слова $V'$ в виде $RLS$ выбирается такое, при котором $R$ — самое короткое, после чего работа алгорифма считается завершённой с результатом $RDS$. Если же эта формула подстановки имеет вид $L\to D$, то из всех возможных представлений слова $V'$ в виде $RLS$ выбирается такое, при котором $R$ — самое короткое, после чего слово $RDS$ считается результатом текущего шага, подлежащим дальнейшей переработке на следующем шаге.

Например, в ходе процесса применения алгорифма с указанной выше схемой к слову $|*||$ последовательно возникают слова $|b*|$, $ba|*|$, $a|*|$, $a|b*$, $aba|*$, $baa|*$, $aa|*$, $aa|c$, $aac$, $ac|$ и $c||$, после чего алгорифм завершает работу с результатом $||$. Другие примеры смотрите ниже.

Любой нормальный алгорифм эквивалентен некоторой машине Тьюринга, и наоборот — любая машина Тьюринга эквивалентна некоторому нормальному алгорифму. Вариант тезиса Чёрча — Тьюринга, сформулированный применительно к нормальным алгорифмам, принято называть «принципом нормализации».

Нормальные алгорифмы оказались удобным средством для построения многих разделов конструктивной математики. Кроме того, заложенные в определении нормального алгорифма идеи используются в ряде ориентированных на обработку символьной информации языков программирования — например, в языке Рефал.

Примеры

Пример 1

Использование алгорифма Маркова для преобразований над строками:

Правила:

1. "А" → "апельсин"
2. "кг" → "килограмм"
3. "М" → "магазинчике"
4. "Т" → "том"
5. "магазинчик" →• "ларь" (заметьте, это заключительная формула!)
6. "в том ларьке" → "на том рынке"

Исходная строка:

"Я купил кг Аов в Т М."

При выполнении алгоритма строка претерпевает следующие изменения:

1. "Я купил кг апельсинов в Т М."
2. "Я купил килограмм апельсинов в Т М."
3. "Я купил килограмм апельсинов в Т магазинчике."
4. "Я купил килограмм апельсинов в том магазинчике."
5. "Я купил килограмм апельсинов в том ларьке."

На этом выполнение алгоритма завершится (так как будет достигнута формула №5, которую мы сделали заключительной).

Пример 2

Этот набор правил делает более интересную вещь. Он преобразует двоичные числа в «единиричные», то есть на выходе получается строка из N единичек, если на входе у нас было N в двоичной системе. Например, 101 преобразуется в 5 единиц:

Правила:

1. «|0» → "0||"
2. «1» → "0|"
3. «0» → ""

Исходная строка:

«101»

Выполнение:

1. «0|01»
2. «00||1»
3. "00||0|"
4. "00|0|||"
5. "000|||||"
6. "00|||||"
7. "0|||||"
8. "|||||"