Байесовское иерархическое моделирование
Байесовское иерархическое моделирование — это статистическая модель, записанная в виде нескольких уровней (в иерархическом виде), которая оценивает параметры[англ.] апостериорного распределения используя байесовский метод[1]. Подмодели комбинируются в иерархическую модель и используется теорема Байеса для объединения их с наблюдаемыми данными и учёта всех присутствующих неопределённостей. Результатом этого объединения является апостериорное распределение, известное также как уточнённая оценка вероятности после того, как получены дополнительные сведения об априорной вероятности.
Введение
Частотная статистика[англ.], наиболее популярное основание статистики[англ.], может дать заключение по внешнему виду несовместимое с заключением, которое даёт байесовская статистика, поскольку байесовский подход трактует параметры как случайные величины и использует субъективную информацию для установления допущений на эти параметры[2]. Так как подходы отвечают на разные вопросы, формальные результаты технически не являются противоречивыми, но два подхода расходятся во мнении, какой ответ относится к конкретным приложениям. Приверженцы байесовского подхода утверждают, что относящаяся к принятию решения информация и обновление уверенностей нельзя игнорировать и что иерархическое моделирование имеет потенциал взять верх над классическими методами в приложениях, где респондент даёт несколько вариантов данных наблюдений. Более того доказано, что модель робастна с меньшей чувствительностью апостериорного распределения к изменчивым иерархическим априорным данным.
Иерархическое моделирование используется, когда информация доступна в нескольких различных уровнях наблюдаемых величин. Иерархический вид анализа и представления помогают в понимании многопараметрических задач и играют важную роль в разработке вычислительных стратегий[3].
Философия
Многочисленные статистические приложения используют несколько параметров, которые можно считать как зависимые или связанные таким образом, что задача предполагает зависимость модели совместной вероятности этих параметров[4].
Индивидуальные степени уверенности, выраженные в форме вероятностей, имеют свою неопределённость[5]. Кроме того, возможны изменения степени уверенности со времени. Как утверждали профессор Жозе М. Бернардо и профессор Адриан Ф. Смит, «Актуальность процесса обучения состоит в эволюции индивидуальной и субъективной уверенности о реальности». Эти субъективные вероятности привлекаются в разум более непосредственно, чем физические вероятности[6]. Следовательно, это требует обновления уверенности, и сторонники байесовского подхода сформулировали альтернативную статистическую модель, которая принимает во внимание априорные случаи конкретного события[7].
Теорема Байеса
Предполагаемое получение реального события обычно изменяет предпочтения между определёнными вариантами. Это делается путём изменения степени доверия к событиям, определяющим варианты[8].
Предположим, что при изучении эффективности сердечной терапии пациентов в госпитале j, имеющих вероятность выживания , вероятность выживания обновляется при событии y, заключающемся в создании гипотетической сомнительной сыворотки, которая, как думают некоторые, увеличивает выживание больных с сердечными проблемами.
Чтобы сделать обновлённые утверждения о вероятности , задающее возникновение события y, мы должны начать с модели, обеспечивающей совместное распределение вероятностей для и y. Это может быть записано как произведение двух распределений, которые часто упоминаются как априорная вероятность и выборочное распределение соответственно:
Если использовать основное свойство условной вероятности, апостериорное распределение даст:
Равенство, показывающее связь между условной вероятностью и индивидуальными событиями, известно как теорема Байеса. Это простое выражение воплощает техническое ядро байесовского вывода, которое нацелено на включение обновлённого доверия в уместном и разрешимом виде[8].
Перестановочность
Обычной стартовой точкой статистического анализа является предположение, что n значений перестановочны. Если никакой информации, отличной от данных y, недоступно для различения любого от любого другого и никакого упорядочения или группировки параметров нельзя сделать, следует предполагать симметрию параметров относительно их априорной вероятности[9]. Эта симметрия представлена вероятностной перестановочностью. Обычно полезно и приемлемо моделировать данные из перестановочного распределения как независимые и одинаково распределённые, если дан некоторый неизвестный вектор параметров с распределением .
Конечная перестановочность
Для фиксированного числа n набор перестановочен, если совместное распределение инвариантно относительно перестановок индексов. То есть, для любой перестановки or индексов (1, 2, …, n), [10]
Ниже приведён пример перестановочной, но не независимой и одинаково распределённой последовательности: Рассмотрим урну с красными и синими шарами с вероятностями вытаскивания шаров. Шары вытаскиваются без возврата в урну, то есть, после вытаскивания одного из n шаров в урне остаётся n − 1 шаров для следующего вытаскивания.
Пусть если -й шар красный иначе.
Поскольку вероятность вытаскивания красного шара при первом вытаскивании и синего шара при втором вытаскивании равна вероятности вытаскивания синего шара при первом вытаскивании и красного при втором, которые обе равны 1/2 (то есть ), то и перестановочны.
Однако вероятность выбора красного шара при втором вытаскивании уже не будет равна 1/2. Таким образом, и не независимы.
Если независимы и одинаково распределены, то они перестановочны, но обратное не обязательно верно[11].
Бесконечная перестановочность
Бесконечная перестановочность — это такое свойство, что любое конечное подмножество бесконечной последовательности , перестановочно. То есть, для любого n последовательность перестановочна[11].
Иерархические модели
Составляющие
Байесовское иерархическое моделирование использует две важные концепции для получения апостериорного распределениея[1], а именно:
- Гиперпараметр[англ.]: параметры априорного распределения
- Гиперприорные распределения[англ.]: распределения гиперпараметров
Предположим, что случайная величина Y имеет нормальное распределение с параметром θ как среднее и параметром 1 в качестве дисперсии, то есть . Предположим, что параметр имеет распределение, задаваемое нормальным распределением со средним и дисперсией 1, то есть . Кроме того, является другим распределением, заданным, например, стандартным нормальным распределением . Параметр называется гиперпараметром, в то время как его распределение, заданное как , является примером гиперприорного распределения. Обозначение для Y изменяется с добавлением другого параметра, то есть . Если имеется другой уровень, скажем, является другим нормальным распределением со средним и дисперсией , что означает , то и могут также быть названы гиперпараметрами, а их распределения являются гиперприорными распределениями[4].
Система
Пусть будут наблюдениями и будет параметром, который управляет процессом генерации . Предположим далее, что параметры порождаются перестановочными из основной популяции с распределением, управляемым гиперпараметром .
Байесовская иерархическая модель содержит следующие уровни:
- Уровень I:
- Уровень II:
- Уровень III:
Правдоподобие, как видно из уровня I, равно , c в качестве его априорного распределения. Заметим, что правдоподобие зависит только от через .
Априорное распределение из уровня I может быть разбито на:
- [из определения условной вероятности]
где является гиперпараметром с гиперприорным распределением .
Тогда апостериорное распределение пропорционально этой величине:
- [используя теорему Байеса]
- [12]
Пример
Для иллюстрации рассмотрим пример: Учитель хочет оценить, насколько хорошо студент выполнил свой SAT тест (англ. Scholastic Assessment Test[13]). Он использует информацию о студенте в старших классах и его текущем среднем балле оценок (англ. grade point average, GPA), чтобы получить оценку. Текущая GPA, обозначим её , имеет правдоподобие, задаваемое некоторой функцией вероятности с параметром , то есть . Этот параметр является баллом SAT студента. Балл SAT рассматривается как элемент выборки, полученный из общей выборки, полученной из распределения общей популяции, индексированной другим параметром , которая является баллом студента в старших классах школы[14]. То есть, . Более того, гиперпараметр имеет своё собственное распределение с функцией , которое называется гиперприорным распределением.
Чтобы получить балл SAT по информации о GPA,
Вся информация в задаче будет использована для получения апостериорного распределения. Вместо решения с использованием только априорной вероятности и функции правдоподобия, использование гиперприорных распределений даёт больше информации, что приводит к большей уверенности в поведении параметра[15].
Двухуровневая иерархическая модель
В общем случае интересующее нас совместное апостериорное распределение 2-уровневых иерархических моделей равно:
Трёхуровневая иерархическая модель
Для 3-уровневых иерархических моделей апостериорное распределение задаётся так:
Примечания
- ↑ 1 2 Allenby, Rossi, McCulloch, 2005, с. 3.
- ↑ Gelman, Carlin, Stern, Rubin, 2004, с. 4–5.
- ↑ Gelman, Carlin, Stern, Rubin, 2004, с. 6.
- ↑ 1 2 Gelman, Carlin, Stern, Rubin, 2004, с. 117.
- ↑ Good, 1980, с. 480.
- ↑ Good, 1980, с. 489—490.
- ↑ Bernardo, Smith, 1994, с. 23.
- ↑ 1 2 Gelman, Carlin, Stern, Rubin, 2004, с. 6—8.
- ↑ Dickey, Chen, 1983, с. 167–168.
- ↑ Gelman, Carlin, Stern, Rubin, 2004, с. 121—125.
- ↑ 1 2 Diaconis, Freedman, 1980, с. 745–747.
- ↑ Kadane, Wasilkowski, 1983, с. 371–372.
- ↑ «Академический оценочный тест» — стандартизованный тест для приёма в высшие учебные заведения США
- ↑ Gelman, Carlin, Stern, Rubin, 2004, с. 120—121.
- ↑ 1 2 3 Box, Tiao, 1965.
Литература
- Greg M. Allenby, Peter E. Rossi, Robert E. McCulloch. Hierarchical Bayes Model: A Practitioner’s Guide. — 2005. — Январь.
- Andrew Gelman, John B. Carlin, Hal S. Stern, Donald B. Rubin. Bayesian Data Analysis. — 2nd. — Boca Raton, Florida: CRC Press, 2004. — ISBN 1-58488-388-X.
- Good I.J. Some history of the hierarchical Bayesian methodology // Trabajos de Estadistica Y de Investigacion Operativa. — Springer – Verlag, 1980. — Февраль (т. 31, вып. 1).
- Jose M. Bernardo, Adrian F.M. Smith. Bayesian Theory. — Chichester, England: John Wiley & Sons, 1994. — (Willey series in probability and statistics). — ISBN 0-471-92416-4.
- Diaconis P., Freedman D. Finite exchangeable sequences // Annals of Probability. — 1980.
- Greg M. Allenby, Peter E. Rossi. Bayesian Applications in Marketing // SSRN Electronic Journal. — 2009.
- Box G. E. P., Tiao G. C. Multiparameter problem from a bayesian point of view. Multiparameter Problems From A Bayesian Point of View. — New York City: John Wiley & Sons, 1965. — Т. 36. — ISBN 0-471-57428-7. Другие тома
- Kadane J.B., Wasilkowski G.W. Average case -complexity in computer science, a Bayesian view // Bayesian Statistics 2 / Bernardo J.M., Degroot V.H., Lindley D.V., Smith A.F.M.. Proceedings of the Second Valencia International Meeting. — Amsterdam, New York, Oxford: Elsevier Science Publishers B.V, 1983. — ISBN 0-444-87746-0. Похожая книга
- James M. Dickey, Chong-Hong Chen. Direct Subjective-Probability Modelling Using Ellipsoidal Distributions // Proceedings of the Second Valencia International Meeting / Bernardo J.M., Degroot V.H., Lindley D.V., Smith A.F.M.. — Amsterdam, New York, Oxford: Elsevier Science Publishers B.V, 1983. — ISBN 0-444-87746-0.
Для улучшения этой статьи желательно:
|