Функтор Hom

В теории категорий множества Hom (то есть множества морфизмов между двумя объектами) позволяют определить важные функторы в категорию множеств. Эти функторы называются функторами Hom и имеют многочисленные приложения в теории категорий и других областях математики.

Определение

Пусть C — локально малая категория. Тогда для любых её объектов A, B определены следующие два функтора:

Hom(A,-) : C → Set	Hom(-,B) : C → Set
Это ковариантный функтор, задаваемый следующим образом: Hom(A,-) отображает каждый объект X категории C во множество морфизмов Hom(A, X) Hom(A,-) отображает каждый морфизм f : X → Y в функцию Hom(A, f) : Hom(A, X) → Hom(A, Y), задаваемую как $g\mapsto f\circ g$ для каждого g в Hom(A, X).	Это контравариантный функтор, задаваемый следующим образом: Hom(-,B) отображает каждый объект X категории C во множество морфизмов Hom(X, B) Hom(-,B) отображает каждый морфизм h : X → Y в функцию Hom(h, B) : Hom(Y, B) → Hom(X, B), задаваемую как $g\mapsto g\circ h$ для каждого g в Hom(Y, B).

Функтор Hom(-,B) также называют функтором точек объекта B.

Также можно определить бифунктор Hom(-,-) из C × C в Set, контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. Или, эквивалентно, функтор

Hom(-,-) : C^op × C → Set

где C^op — двойственная категория к C.

Внутренний функтор Hom

В некоторых категориях можно определить функтор, который сходен с функтором Hom, но значения которого лежат в самой категории. Такой функтор называют внутренним функтором Hom и обозначают

${\text{hom}}(-,-):C^{op}\times C\to C$

Категории, допускающие внутренний Hom-функтор, называются замкнутыми категориями. Забывающий функтор $U:C\to {\textbf {Set}}$ в таких категориях переводит внутренний функтор Hom во внешний. Точнее,

$U\circ {\text{hom}}(-,-)\simeq {\text{Hom}}(-,-)$

где $\simeq$ обозначает естественный изоморфизм, естественный по обоим «аргументам». Поскольку в замкнутой категории $A\cong hom(I,A)$ (здесь I — единица замкнутой категории), это можно переписать как

${\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)$

В случае замкнутой моноидальной категории это можно расширить до так называемого каррирования, то есть изоморфизма

${\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)$

где $Y\Rightarrow Z$ — это ${\text{hom}}(Y,Z)$.

Связанные определения

• Функтор вида Hom(-, C) : C^op → Set является предпучком; соответственно, Hom(C, -) можно называть копредпучком.
• Функтор F : C → Set, естественно изоморфный Hom(X, -) для некоторого объекта C называется представимым функтором.
• Hom(-, -) : C^op × C → Set является профунктором, а именно, тождественным профунктором ${\text{id}}_{C}\colon C\nrightarrow C$.
• Внутренний функтор Hom сохраняет пределы; а именно, ${\text{hom}}(X,-):C\to C$ переводит пределы в пределы, а ${\text{hom}}(-,X):C^{\text{op}}\to C$ — пределы в копределы. В некотором смысле, это можно считать определением предела или копредела.
• Функтор Hom — пример точного слева функтора.

См. также

• Лемма Йонеды
• Категория функторов

Примечания

• С. Маклейн. Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
• Nathan Jacobson. Basic algebra (неопр.). — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7.