Последовательность

Последовательность — такой набор элементов некоторого множества, что:

• для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;
• это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
• для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. Если любой конечный набор элементов называют выборкой конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.

Последовательность по своей природе — отображение, поэтому его не следует смешивать с множеством, которое «пробегает» последовательность.

В математике рассматривают различные типы последовательностей:

• числовые последовательности;
• временны́е ряды как числовой, так и не числовой природы;
• последовательности элементов метрического пространства;
• последовательности элементов функционального пространства;
• последовательности состояний систем управления и автоматов.

Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.

Определение

Пусть задано некоторое множество $X$ элементов произвольной природы.

Всякое отображение $f\colon \mathbb {N} \to X$ множества натуральных чисел $\mathbb {N}$ в заданное множество $X$ называется последовательностью (элементов множества $X$).

Образ натурального числа $n$, а именно элемент $x_{n}=f(n)$, называется $n$-ым членом или элементом последовательности, а порядковый номер члена последовательности — её индексом.

Связанные определения

• Подмножество $f\left[\mathbb {N} \right]$ множества $X$, которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности: пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» последовательность, «перемещается» по носителю.
• Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называется подпоследовательностью заданной последовательности.

Комментарии

• Не следует смешивать носитель последовательности и саму последовательность! Например, точка $a\in X$ как одноточечное подмножество $\{a\}\subset X$ является носителем стационарной последовательности вида $a,a,a,\dots$.

• Любое отображение множества $\mathbb {N}$ в себя также является последовательностью.

• В математическом анализе важным понятием является предел числовой последовательности.

Обозначения

Последовательности вида

$x_{1},\quad x_{2},\quad x_{3},\quad \dots$

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

$(x_{n})$ или $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$

иногда используются фигурные скобки:

$\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$

Допуская некоторую вольность речи, можно рассматривать и конечные последовательности вида

$(x_{n})_{n=1}^{N}$,

которые представляют собой образ начального отрезка последовательности натуральных чисел.

См. также

• Иерархия
• Направленность (математика)
• Порядок

Литература

• Последовательность // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 242-245. — 352 с.