Квазигруппа (математика)

Квазигруппа — магма, в которой всегда возможно деление. В отличие от группы, квазигруппа не обязана быть ассоциативной.

Определения и свойства

Квазигруппой называют пару (Q, *) из непустого множества Q с бинарной операцией * : Q × Q → Q, удовлетворяющей следующему условию: для любых элементов a и b из Q найдутся единственные элементы x и y из Q, такие что

• a * x = b
• y * a = b

Решения этих уравнений иногда записывают так:

• x = a \ b
• y = b / a

Операции \ и / называют левым делением и правым делением.

Квазигруппу с единицей называют также лупой (от англ. loop — петля).

Если между элементами двух квазигрупп Q и R можно установить биекцию (то есть они равномощны как множества), говорят, что Q и R имеют одинаковый порядок. Если при этом существуют перестановки A, B, C, действующие на элементах этих квазигрупп, такие что

• (x, y) = [xA, yB]C

(здесь (,) и [ , ] — операции в Q и R соответственно), то такие квазигруппы называют изотопными.

Для любой квазигруппы существует лупа, которой она изотопна. Если же лупа изотопна группе, то эта лупа является группой. В более общем случае: если полугруппа изотопна лупе, то они изоморфны и обе изоморфны некоторой группе. Изотопия, в некотором^{[каком?]} смысле, эквивалентна изоморфизму групп, но существуют квазигруппы изотопные, но не изоморфные группам.

Любой латинский квадрат является таблицей умножения (таблицей Кэли) квазигруппы.

Квазигруппа называется полностью антисимметричной, если выполняются ещё два свойства:

• если для некоторых a и b из квазигруппы оказалось, что a * b = b * a, то a = b;
• если для некоторых a, b и c из квазигруппы оказалось, что ( a * b ) * c = ( a * c ) * b, то b = c.

В 2004 году М. Дамм представил примеры полностью антисимметричных квазигрупп, что явилось значительным математическим достижением XXI века.

Полностью антисимметричные квазигруппы (квазигруппы Дамма) используются в кодах, распознающих ошибку (алгоритм Дамма).

Примеры

• Любая группа является также и квазигруппой, так как a * x = b $\Leftrightarrow$ x = a⁻¹ * b, y * a = b $\Leftrightarrow$ y = b * a⁻¹.
• Целые числа ($\mathbb {Z}$) с операцией вычитания (−) являются квазигруппой.
• Ненулевые рациональные числа $\mathbb {Q}$ (или вещественные — $\mathbb {R}$) с операцией деления (÷) являются квазигруппой.
• Множество {±1, ±i, ±j, ±k}, где ii = jj = kk = +1 и все остальные произведения определяются так же, как в кватернионах, является квазигруппой с единицей (лупой).
• Любое векторное пространство над полем вещественных чисел относительно операции x * y = (x + y) / 2 образует структуру идемпотентной, коммутативной квазигруппы.

Литература

• Белоусов В. Д. «Основы теории квазигрупп и луп» — М.: Наука, 1967. — 224с.
• Sabinin L.V. Smooth quasigroups and loops (недоступная ссылка) — Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. — 257p
• Сабинин Л. В. Аналитические квазигруппы и геометрия — М.: УДН, 1991. — 112с.
• Сабинин Л. В., Михеев П. О. Теория гладких луп Бола. — М.: Издательство УДН, 1985. — 81с.
• «Квазигруппы и лупы» (вып. 51). Валуцэ И. И. (ред.) и др. Сборник научных работ. Кишинёв: Штиинца, 1979. — 168с.
• Белоусов В. Д. Аналитические сети и квазигруппы — Кишинёв: Штиинца, 1971. — 168с.
• Михеев П. О., Сабинин Л. В. Гладкие квазигруппы и геометрия. Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., Том 20. — М.: ВИНИТИ, 1988. 75-110.]
• Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969—1970 учебного года — М.: Наука, 1974. — 160с. Параграфы 5 и 6.
• Галкин В. М. Квазигруппы в сборнике статей Алгебра, топология, геометрия. Том 26, 1988 г.Итоги науки и техн. Сер. Алгебра, топол., геом. Том 26. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 3-44.