Коллинеарность

Два коллинеарных противоположно направленных вектора

Коллинеа́рность ( от лат. col- придает значение совместности, linearis- линейный) — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м синоним — «параллельные» векторы.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Основное обозначение — ${\vec {a}}\parallel {\vec {b}}$; сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются как ${\vec {a}}\upuparrows {\vec {b}}$, противоположно направленные — ${\vec {a}}\uparrow \downarrow {\vec {b}}$.

Свойства

Отношение коллинеарности рефлексивно (${\vec {a}}||{\vec {a}}$) и симметрично (${\vec {a}}||{\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {b}}||{\vec {a}}$). Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Если ${\vec {a}}||{\vec {b}}$ и ${\vec {b}}\neq 0$, то существует действительное число $\lambda$ такое, что ${\vec {a}}=\lambda {\vec {b}}\;$ (причем $\lambda >0$, если векторы сонаправлены, и $\lambda <0$, если они противонаправлены). Это соотношение также может служить критерием коллинеарности.

Скалярное произведение коллинеарных векторов равно произведению их длин (взятых со знаком «минус», если векторы противоположно направлены).

Векторы на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда их псевдоскалярное произведение равно 0. На плоскости два неколлинеарных вектора ${\vec {a}},{\vec {b}}$ образуют базис. Это значит, что любой вектор ${\vec {c}}$ можно представить в виде: ${\vec {c}}=x_{1}{\vec {a}}+x_{2}{\vec {b}}$. Тогда $\;\{x_{1},x_{2}\}$ будут координатами ${\vec {c}}$ в данном базисе.

Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Обобщения

Критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а как элементы произвольного линейного пространства.

Иногда коллинеарными называют точки, которые лежат на одной прямой.