Гильбертово пространство

Полное сепарабельное евклидово пространство бесконечного числа измерений называется гильбертовым пространством.

Пространство названо в честь математика Д. Гильберта.

Справедливо следующее утверждение:

Любые два гильбертовых пространства изоморфны между собой.

Примеры

Примером гильбертова пространства является пространство $l_{2}$. Пространство состоит из бесконечных последовательностей действительных чисел

$x=(x_{1},x_{2},...)$, таких, что $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}<\infty$,

со скалярным произведением

$(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}y_{n}$.

Другим пространством является пространство $L_{2}$ -- пространство дважды интегрируемых по Лебегу функций, т. е. таких, что

$\int (f(x))^{2}dx<\infty$

со скалярным произведением

$(f,g)=\int f(x)g(x)dx$.

См. также равенство Парсеваля.