Обратное число

Формы комплексного числа	Число $(z)$	Обратное $\left({\frac {1}{z}}\right)$
Алгебраическая	$1+i{\sqrt {3}}$	${\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}i$
Тригонометрическая	$2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)$ или $2\left({\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$	${\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)$ или ${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$
Показательная	$2e^{i{\frac {\pi }{3}}}$	${\frac {1}{2}}e^{-i{\frac {\pi }{3}}}$

Обратное к мнимой единице

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), обратное и противоположное числа к которым равны. Это $\pm i$.

Число	Равенство обратного и противоположного
	Запись обратного через дробь	Запись обратного через степень
$i$	${\frac {1}{i}}=-i$	$i^{-1}=-i$
$-i$	$-{\frac {1}{i}}=i$	$-i^{-1}=i$

Доказательство                     Продемонстрируем доказательство для $i$ (для $-i$ аналогично). Используем основное свойство дроби: ${\frac {1}{i}}={\frac {1\cdot i}{i\cdot i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i$ Таким образом, получаем ${\frac {1}{i}}=-i$__или__$i^{-1}=-i$ Аналогично для $-i$: __ $-{\frac {1}{i}}=i$ __ или __ $-i^{-1}=i$

См. также

• Обратный элемент
• Обратная матрица
• Деление
• Дробь
• Противоположное число