Закон Био — Савара — Лапласа

Закон Био—Савара—Лапласа — физический закон для определения модуля вектора магнитной индукции в любой точке магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током на некотором рассматриваемом участке. Был установлен экспериментально в 1820 году Био и Саваром. Лаплас проанализировал данное выражение и показал, что с его помощью путём интегрирования, в частности, можно вычислить магнитное поле движущегося точечного заряда, если считать движение одной заряженной частицы током.

Формулировка

Пусть постоянный ток $\mathbf {I}$ течёт по контуру $\gamma$, находящемуся в вакууме, $\mathbf {r} _{0}$ — точка, в которой ищется поле, тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом

$\mathbf {B} ={\mu _{0} \over 4\pi }\int _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {l} ;\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}]}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}$

Направление $d\mathbf {B}$ перпендикулярно $d\mathbf {l}$ и $\mathbf {r}$, то есть перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление $d\mathbf {B}$, если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора $d\mathbf {B}$ определяется выражением

$dB={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2}}}$

Векторный потенциал даётся интегралом

$\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int _{\gamma }{\frac {Id\mathbf {l} (\mathbf {r} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}}$

Вывод из уравнений Максвелла

Закон Био — Савара — Лапласа может быть получен из уравнений Максвелла для стационарного поля. При этом производные по времени равны 0, так что уравнения для поля в вакууме примут вид

$\operatorname {rot} \,\mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j}$

$\operatorname {div} \,\mathbf {B} =0$

$\operatorname {rot} \,\mathbf {E} =0$

$\operatorname {div} \,\mathbf {E} =4\pi \rho$

где $\mathbf {j}$ — плотность тока в пространстве. При этом электрическое и магнитное поля оказываются независимыми. Воспользуемся векторным потенциалом для магнитного поля:

$\mathbf {B} =\operatorname {rot} \,\mathbf {A}$

Калибровочная инвариантность уравнений позволяет наложить на векторный потенциал одно дополнительное условие:

$\operatorname {div} \,A=0$

Раскрывая двойной ротор по формуле векторного анализа, получим для векторного потенциала уравнение типа уравнения Пуассона:

$\Delta \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j}$

Его частное решение даётся интегралом, аналогичным ньютонову потенциалу:

$\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\frac {1}{c}}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}}dV$

Тогда магнитное поле определяется интегралом

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \mathbf B = \operatorname{rot}\,\mathbf A = \frac{1}{c} \int \left[ \nabla \frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r_0|} ; \mathbf j(\mathbf r) \right] dV = \frac{1}{c} \int_\gamma \frac{[\mathbf j(\mathbf r);\mathbf{r} - \mathbf{r}_0]}{|\mathbf r - \mathbf{r}_0 |^3} dV}

аналогичным по форме закону Био — Савара — Лапласа. Это соответствие можно сделать точным, если воспользоваться обобщёнными функциями и записать пространственную плотность тока, соответствующую витку с током в пустом пространстве. Переходя от интегрирования по всему пространству к кратному интегралу вдоль витка и по ортогональным ему плоскостям и учитывая, что

$\mathbf {j} =Id\mathbf {l}$

получим закон Био — Савара — Лапласа для поля витка с током.

Литература

• Шаблон:Книга:Сивухин Д.В.: Электричество:1977
• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лившиц Е.М.: Теория поля