Касательный вектор

Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.

Касательный вектор к кривой

• Пусть функция $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определена в некоторой окрестности точки $x_{0}\in \mathbb {R}$ и дифференцируема в ней: $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$.

Касательным вектором к графику функции $f$ в точке $x_{0}$ называется вектор с компонентами

• ${\vec {e}}={\frac {1}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}\cdot {\vec {e}}_{x}+{\frac {f'(x_{0})}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}\cdot {\vec {e}}_{y}$.

• Если функция $f$ имеет в точке $x_{0}$ бесконечную производную $f'(x_{0})=\pm \infty ,$ то касательный вектор

  ${\vec {e}}={\vec {e}}_{y}$.

Общее определение

Касательным вектором к гладкому многообразию $M$ в точке $p\in M$ называется оператор $X$, сопоставляющий каждой гладкой функции $f\colon M\to \mathbb {R}$ число $Xf$ и обладающий следующими свойствами:

• аддитивность: $X(f+h)=Xf+Xh,$
• правило Лейбница: $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh).$

Множество всех таких операторов в точке $p$ имеет естественную структуру линейного пространства, именно:

$(X+Y)f=Xf+Yf;$

$(k\cdot X)f=k\cdot (Xf),\ \forall k\in \mathbb {R}$.

Совокупность всех касательных векторов в точке $p$ образует векторное пространство, которое называется касательным пространством в точке $p$. Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.

Касательный вектор как класс эквивалентности путей

Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rⁿ. Пусть в Rⁿ задан гладкий путь $\mathbf {f} \colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$:

$\mathbf {f} (t)=f_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+f_{2}(t)\mathbf {e} _{2}+\dots +f_{n}(t)\mathbf {e} _{n}$.

Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь $\mathbf {l} (t)$, который его касается в момент времени t₀:

$\mathbf {l} (t)=\mathbf {f} (t_{0})+(t-t_{0})\left({\partial f_{1} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{1}+{\partial f_{2} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{2}+\dots +{\partial f_{n} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{n}\right)$.

Касание двух путей $\mathbf {f} _{1}(t)$ и $\mathbf {f} _{2}(t)$ означает, что $\mathbf {f} _{1}(t)-\mathbf {f} _{2}(t)=o(t-t_{0})$; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности. Kасательный вектор в точке x₀ можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x₀ в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.

Касательный вектор к подмногообразию

Касательный вектор в точке $p$ гладкого подмногообразия $M$ евклидова пространства — вектор скорости в точке $p$ некоторой кривой в $M$.

Иначе говоря, касательный вектор в точке $p$ подмногообразия, локально заданного параметрически

$r\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ с $p=r(0)\$,

есть произвольная линейная комбинация частных производных ${\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}(0)$.

Замечания

• Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости $C^{1}$.
• Согласно теореме Уитни о вложении, любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в $\mathbb {R} ^{2n}$. Поэтому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать независимость определения от вложения.

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
• Зорич В. А. Математический анализ, Т. 1,2. — М.: Наука, 1981.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.