Трилистник (узел)

Трилистник
Левосторонний трилистник
Обозначения
Конвея	[3]
Александера–Бриггса	31
Даукера	4, 6, 2
Многочлены
Александера	$t-1+t^{-1}$
Джонса	$q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}$
Кауфмана	$za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}$
Конвея	$z^{2}+1$
HOMFLY	$-\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}+2\alpha ^{2}$
Инварианты
Инвариант Арфа	1
Длина косы	3
Число нитей	2
Число мостов	2
Число плёнок	1
Число пересечений	3
Род	1
Число отрезков	6
Число туннелей	1
Число развязывания	1
Свойства
Простой, торический, альтернированный, кружевной, не срезанный, двусторонний, трёхцветный, скрученный, расслоенный
Медиафайлы на Викискладе

В теории узлов трилистник — простейший нетривиальный узел. Трилистник можно получить, соединив 2 свободных конца обычного простого узла, в результате чего получаем заузленное кольцо. Как простейший узел, трилистник является фундаментальным объектом при изучении математической теории узлов, которая имеет многообразные приложения в топологии, геометрии, физике, химии и иллюзионизме.

Описания

Трилистник можно определить как кривую, которая получается из следующих параметрических уравнений:

${\begin{cases}x=\sin t+2\sin 2t,\\y=\cos t-2\cos 2t,\\z=-\sin 3t.\end{cases}}$

(2,3)-торический узел является трилистником. Следующие параметрические уравнения задают (2,3)-торический узел на торе $(r-2)^{2}+z^{2}=1$:

${\begin{cases}x=(2+\cos 3t)\cos 2t,\\y=(2+\cos 3t)\sin 2t,\\z=\sin 3t.\end{cases}}$

Трилистник с осевой симметрией порядка 2

Любая непрерывная деформация этой кривой также считается трилистником. В частности, любая изотопная трилистнику кривая также считается трилистником. Кроме того, зеркальное отражение трилистника также считается трилистником. В топологии и теории узлов трилистник обычно задаётся с помощью диаграммы.

В алгебраической геометрии трилистник можно получить как пересечение в C² единичной 3-сферы S³ с комплексной плоской кривой нулей комплексного многочлена z² + w³ (полукубическая парабола).

Левосторонний трилистник

Правосторонний трилистник

Если один конец ленты повернуть 3 раза, а затем склеить с другим концом, получим трилистник.

Симметрия

Трилистник хирален в том смысле, что трилистник отличается от своего собственного зеркального отражения. Два варианта трилистника известны как левосторонний и правосторонний. Невозможно путём деформации левосторонний вариант непрерывным образом перевести в правосторонний или наоборот, то есть, эти два трилистника не изотопны.

Хотя трилистник хирален, он обратим, что означает, что нет разницы в каком направлении трилистник обходится — по часовой стрелке или против.

Трилистник позволяет трёхцветную раскраску

Простой узел становится трилистником после соединения концов

Нетривиальность

Трилистник нетривиален, что означает, что невозможно «развязать» трилистник в трёхмерном пространстве без разрезания. С математической точки зрения это означает, что трилистник не изотопен тривиальному узлу. В частности, не существует последовательности движений Рейдемейстера, с помощью которых узел развязывается.

Доказательство этого требует построения инварианта узла, который отличен от инварианта тривиального узла. Простейший такой инвариант — трёхцветная раскраска — трилистник позволяет трёхцветную раскраску, а тривиальный узел — нет. Кроме того, любой основной многочлен узла трилистника отличается от многочлена тривиального узла, как и большинство других инвариантов.

Классификация

В теории узлов трилистник является первым нетривиальным узлом и единственным узлом с числом пересечений три. Он является простым и перечислен с под номером 3₁ в нотации Александера-Бриггса. Нотация Даукера для трилистника — 4 6 2, а нотация Конвея трилистника — [3].

Трилистник можно описать как (2,3)-торический узел. Можно получить этот узел путём замыкания косы σ₁³.

Трилистник является альтернированным узлом. Однако, он не является срезанным узлом, что означает, что он не ограничивает 2-мерный диск на 4-мерной сфере. Чтобы это показать, следует заметить, что его сигнатура ненулевая. Другое доказательство — многочлен Александера не удовлетворяет условию Фокса — Милнора.

Трилистник является расслоенный, что означает, что его дополнение в $S^{3}$ является локально тривиальным расслоением над окружностью $S^{1}$. В модели трилистника как множества пар $(z,w)$ комплексных чисел, таких что $|z|^{2}+|w|^{2}=1$ и $z^{2}+w^{3}=0$, это локально тривиальное расслоение имеет отображение Милнора $\phi (z,w)=(z^{2}+w^{3})/|z^{2}+w^{3}|$ в качестве расслоения, а тор с выколотой точкой в качестве поверхности расслоения.

Инварианты

Многочлен Александера трилистника есть

$\Delta (t)=t-1+t^{-1},$

а многочлен Конвея —

$\nabla (z)=z^{2}+1.$

Многочлен Джонса —

$V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},$

а многочлен Кауфмана трилистника —

$L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}.$

Группа узла трилистника задаётся представлением

$\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle$

или эквивалентно,

$\langle x,y\mid xyx=yxy\rangle .$

Эта группа изоморфна группе кос с тремя нитями.

Трилистники в религии и культуре

В качестве простейшего нетривиального узла, трилистник является частым мотивом в иконографии и изобразительном искусстве.

• 
  Древне­скандинавская подвеска мьёльнир с трилистником
• 
  Простой символ трикветр
• 
  Плотный трикветр
• 
  Немецкий Валкнут
• 
  Металлический Валкнут в виде трилистника
• 
  Трилистник, используемый в Лого aTV
• 
  Ориентируемая поверхность, ограниченная трилистником
• 
  Лист Мёбиуса, ограниченный трилистником

Присутствует на современных последних норвежских монетах Харальда Хардроде (1047—1066), для которых этот тройной узел стал наиболее типичным изображением, как правило, заполнявшим поле аверса.

Присутствует на западноевропейских монетах, происходящих с каролингских монетных дворов и, особенно, из архиепископских мастерских в Андернахе, Кёльне, Гюи или Страсбурге (531), мотив тройного узла с большой долей вероятности можно считать исключительно символом Святой Троицы.

Присутствет на дохристианских монетах в Йорке и Хедебю, и на надгробных камнях VIII—IX вв. на острове Готланд.

Литература

• George Russell Shaw. Knots: Useful & Ornamental. — 1933. — ISBN 978-0-517-46000-9.

Ссылки

• Wolframalpha: (2,3)-torus knot