Функция (математика)

В данной статье приведено определение математической функции. В средних школах и на нематематических специальностях высших учебных заведениях изучают более простое понятие числовой функции, являющееся частным случаем математической функции.

В математике функция или отображе́ние — это упорядоченная тройка множеств $F=(f,\;X,\;Y)$, обладающая следующими свойствами:

• $f\subseteq X\times Y$
• $\forall (x,\;y)\in f,\forall (x',\;y')\in f,x=x'\rightarrow y=y'$

В некоторых источниках отображение — всякое соответствие между элементами двух множеств. То есть соответствие может быть не однозначным. Например, уравнение с двумя переменными.

Общепринятые обозначения:

• $F:\ X\to Y$ или $X{\stackrel {F}{\longrightarrow }}Y$ для отображения $F$ множества $X$ в множество $Y$.
• $y=F(x)$ или $F:x\mapsto y$ или $x{\stackrel {F}{\longmapsto }}y$.

Множество $X$ называется о́бластью определе́ния отображения $F$ (обозначается $D(f)$, или $D(y)$, или $\mathrm {dom} \,f$.).

Множество $Y$ называется о́бластью значе́ний отображения $F$.(обозначается $E(f)$, или $E(y)$, или $\mathrm {cod} \,f$).

Интуитивное определение

Пусть $X$ и $Y$ — два множества. Закон $f$, согласно которому каждому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие единственный элемент $y\in Y$, называется отображением множества $X$ в множество $Y$ или функцией, заданной на $X$ со значениями в $Y$.

Связанные определения

• Пусть дано отображение $F:X\to Y$, и $M\subset X$. Тогда суже́нием функции $F$ на $M$ называется функция $\left.F\right\vert _{M}:M\to Y$, определяемая равенством

  $\left.F\right\vert _{M}(x)=F(x),\;\forall x\in M$.

Это определение подчеркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.

• Пусть $M\subset X$. Тогда о́бразом множества $M$ называется подмножество $Y$, определяемое равенством

  $F(M)=\{F(x)\mid x\in M\}$.

Множество $\ F(X)$ называется образом отображения $\ F$ и обозначается $\operatorname {Im} \,F$.

• Пусть задано отображение $F:X\to Y$, $x\in X,\;y\in Y$ и $y=F(x)$. Тогда $x$ называется проо́бразом $y$, а $y$ называется о́бразом $x$. Согласно определению отображения, каждый элемент $x\in X$ должен иметь ровно один образ, но элемент $y\in Y$ может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.
  • Например, пусть дана функция $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, где $F(x)=x^{2}$. Тогда

    $y=-1$ не имеет прообразов;

    $y=0$ имеет единственный прообраз $x=0$;

    $y=1$ имеет два прообраза: $x_{1}=1$ и $x_{2}=-1$.

• Пусть задано отображение $F:X\to Y$, и $y\in Y$. Тогда множество $\{x\in X\mid F(x)=y\}\subset X$ называется по́лным проо́бразом элемента $y$. Полный прообраз обозначается $F^{-1}(y)$.
  • Например, пусть $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, и $F(x)=\sin x$. Тогда

    $F^{-1}(1)=\left\{{\pi \over 2}+2\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \right\}$.

• Пусть $N\subset Y$. Тогда проо́бразом множества $N$ называется подмножество $X$, определяемое равенством

  $F^{-1}(N)=\{x\in X\mid F(x)\in N\}$.

  • Например, пусть $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, и $F(x)=\cos x$. Тогда

    $F\left(\left[0,\;{\pi \over 2}\right]\right)=[0,\;1]$,

    $F^{-1}([0,\;1])=\bigcup \limits _{n\in \mathbb {Z} }\left[-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n,\;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right]$.

Свойства

Свойства прообразов и образов

• $F^{-1}(A\cup B)=F^{-1}(A)\cup F^{-1}(B),\;\forall A,\;B\subset Y$;
• $F^{-1}(A\cap B)=F^{-1}(A)\cap F^{-1}(B),\;\forall A,\;B\subset Y$;
• $F(A\cup B)=F(A)\cup F(B),\;\forall A,\;B\subset X$;
• $F(A\cap B)\subset F(A)\cap F(B),\;\forall A,\;B\subset X$. Заметим отсутствие равенства в этом случае.

Классы функций

При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств $X$ и $Y$. Если $X$ и $Y$ — числовые множества, такие, как $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$, то отображение называют функцией. Если $X$ или $Y$ многомерны, например, $\mathbb {R} ^{n}$ или $\mathbb {C} ^{n}$, то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если $X$ — произвольной природы, а $Y$ — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.

Функции нескольких аргументов

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Пусть даны множества $X_{1},\;X_{2},\;\ldots ,\;X_{n}$ и множество $Y$, тогда упорядоченное множество всех кортежей $f=\left\{(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n},\;y)\right\}$ называется функцией $n$ аргументов тогда и только тогда, когда для любых $(x'_{1},\;x'_{2},\;\ldots ,\;x'_{n},\;y')\in f$ и $(x''_{1},\;x''_{2},\;\ldots ,\;x''_{n},\;y'')\in f$ из $y'\neq y''$ следует, что $x_{n}'\neq x_{n}'',\forall x\in [1,\;n]\cap \mathbb {Z}$.

См. также

• Композиция функций
• Сюръективность
• Инъективность
• Биективность

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия». 1995.