Калибровочная инвариантность

Калибро́вочная инвариа́нтность — инвариантность прогнозов физической полевой теории относительно (локальных) калибровочных преобразований — координатно-зависимых преобразований поля, описывающих переход между базисами в пространстве внутренних симметрий этого поля.

Впервые калибровочная инвариантность была установлена в классической электродинамике. Глобальная (не зависящая от координаты) калибровочная инвариантность поля в силу теоремы Нётер приводит к закону сохранения заряда этого поля (в частности, для электродинамики — к закону сохранения электрического заряда). Локальная (координатно-зависимая) калибровочная инвариантность заряженных полей для сохранения динамических уравнений теории требует введения новых, так называемых калибровочных полей.

Требование калибровочной инвариантности — одно из ключевых положений физики элементарных частиц. Именно через калибровочную инвариантность удаётся самосогласованным образом описать в Стандартной модели электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия. В частности, электромагнитное поле «появляется» в некоторой квантово-полевой теории при дополнительном требовании локальной калибровочной инвариантности лагранжиана теории. По такому принципу можно «вывести» лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД) из лагранжиана поля Дирака (электронного поля или электрон-позитронного поля).

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность времени	…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии	Изотропность времени	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца (бусты)	Относительность лоренц-ковариантность	…движения центра масс
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

В классической электродинамике

Пусть $f=f(x,y,z,t)$ — произвольная скалярная функция координат и времени. Тогда
если изменить потенциалы следующим образом:

$\varphi '=\varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial f}{\partial t}},\qquad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla f,$   где φ и A – скалярный и векторный потенциалы,

то реально наблюдаемое поведение системы не изменится.

Это очевидно из того, что значения электрического и магнитного полей $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$ при таком преобразовании останутся теми же.

Независимость от фазы комплексного числа

Упрощённо основную идею калибровочной инвариантности можно пояснить следующим образом. Основная характеристика, описывающая физическую систему в квантовой механике, — волновая функция — есть величина комплексная. Однако все наблюдаемые величины, которые строятся как билинейные комбинации волновых функций, оказываются вещественными (как и должно быть — ведь в нашем осязаемом мире все величины вещественны). В результате получается, что ничего в предсказаниях теории не изменится, если волновые функции умножаются на комплексное число, равное по модулю единице — $e^{i\alpha }$. (Сопряжённая функция умножается, соответственно, на сопряжённое комплексное число). Это вполне естественно: абсолютное значение фазы комплексного числа — вещь произвольная и не должно влиять на предсказания теории.

Таким образом, квантовая механика инвариантна относительно глобальных фазовых вращений, иначе называемых глобальными калибровочными преобразованиями.

Идея калибровочной инвариантности

А инвариантна ли квантовая механика относительно локальных фазовых вращений $e^{i\alpha (\mathbf {x} )}$ (локальных калибровочных преобразований)? Иными словами, изменится ли что-либо, если волновую функцию в одной точке мы провернём на одну фазу, а в другой точке — на другую? Да, изменится. В частности, очевидно, изменится, причём почти произвольным образом, правая часть уравнения Шрёдингера, а значит — и эволюция системы во времени. То есть квантовая механика свободной частицы оказывается неинвариантной относительно локальных фазовых вращений.

Можно ли восстановить инвариантность? Да, можно. Однако для этого надо ввести новое физическое поле, которое «чувствует» то внутреннее пространство, в котором мы производим фазовые вращения. В результате при локальных фазовых вращениях у нас преобразуются как волновые функции, так и новое поле, причём таким образом, что изменения в уравнениях за счёт этих фазовых вращений компенсируют, «калибруют» друг друга. То есть квантовая механика с дополнительным новым полем стала калибровочно инвариантна.

Если теперь изучить свойства нового поля, то оно будет напоминать электромагнитное поле, которое мы наблюдаем в нашем мире. В частности, взаимодействие этого поля с веществом как раз совпадает с взаимодействием электромагнитного поля. Поэтому вполне естественно при построении теории отождествить эти два поля.

Итак, требование калибровочной инвариантности оказалось неожиданно удобным способом ввести в теорию и электромагнитное поле. Его не пришлось рассматривать отдельно, оно появилось в теории почти «само».

Калибровочные поля как основа Стандартной модели

Первую единую теорию гравитационного и электромагнитного поля на основе идей калибровочной инвариантности предложил Г. Вейль. Современная теория калибровочных полей развивает и обобщает его идеи с опорой на калибровочные преобразования более сложного вида, отвечающие за инвариантность в некотором более сложном пространстве внутренних степеней свободы.

Так, например, инвариантность относительно вращений кварков в цветовом пространстве приводит к тому, что сильные взаимодействия тоже можно описать как калибровочные поля. Слабые взаимодействия отдельно описать как калибровочные не получается, однако существует неожиданно изящный метод описания электромагнитного и слабого взаимодействий одновременно как двух разных проявлений некоторого калибровочного электрослабого поля.

Тем самым все фундаментальные взаимодействия выводятся на основании калибровочной инвариантности. С точки зрения построения физической теории это крайне экономная и удачная схема.

Особняком стоит гравитационное взаимодействие. Оно также оказывается калибровочным полем, причём общая теория относительности как раз и является калибровочной теорией гравитационного взаимодействия. Однако она формулируется, во-первых, не на квантовом уровне, и до сих пор непонятно, как именно её проквантовать, а во-вторых, пространством, в котором осуществляются вращения, является наше четырёхмерное пространство-время, а не внутреннее пространство симметрии взаимодействия.

См. также

• Калибровка векторного потенциала
• Калибровочная симметрия (математика)
• Калибровочная теория гравитации
• Нерешённые проблемы современной физики

Литература

• Г. 'т Хоофт, Калибровочные теории сил между элементарными частицами, «Успехи физических наук», 1981, т. 135, вып. 3, с.379. (перевод статьи из «Scientific American», June 1980, Vol. 242, p.90.)
• Коноплева Н. П., Попов В. Н.. Калибровочные поля. — М.: Атомиздат, 1972.
• Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — 2 изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1988.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — ISBN 5-88417-087-4.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля. — М.: УРСС, 2000. — ISBN 5-88417-221-4.
• Утияма Р. К чему пришла физика. От теории относительности к теории калибровочных полей. — М.: Знание, 1986. — 224 с.
• Волошин М. Б., Тер-Мартиросян К. А. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 288 с.
• Иваненко Д. Д. (ред.). Элементарные частицы и компенсирующие поля. — М.: Мир, 1964. — 298 с.