Числа харшад
Числа харшад, или числа Нивена, — натуральные числа, делящиеся нацело на сумму своих цифр[1][2][3][4]. Таким числом является, например, 1729, так как 1729 = (1 + 7 + 2 + 9) × 91.(очевидно имелось ввиду "/ на 19")
Очевидно, что все числа от 1 до 10 являются числами харшад.
Первые 50 чисел харшад, не меньших 10[3]:
- 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.
Имеет смысл также рассматривать числа харшад в других системах счисления. Числа, которые являются числами харшад во всех системах счисления, называются обобщёнными числами харшад. Их всего четыре: 1, 2, 4, 6.
История
Числа харшад были исследованы индийским математиком Даттараей Рамчандрой Капрекаром. Слово «харшад» происходит от санскритского IAST: harṣa «великая радость»[4].
Оценка плотности распределения чисел харшад
Пусть — количество чисел харшад, не больших , тогда для любого ε > 0
Жан-Мари де Конинк, Николас Доён[5] и Катаи[6] показали и доказали, что
где
См. также
Примечания
- ↑ Weisstein, Eric W. Harshad Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Harshad numbers . Numbers Aplenty.
- ↑ 1 2 Последовательность A005349 в OEIS = Niven (or Harshad) numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits
- ↑ 1 2 J. J. O'Connor, E. F. Robertson. Dattatreya Ramachandra Kaprekar . MacTutor History of Mathematics archive (август 2007).
- ↑ De Koninck, Jean-Marie; Doyon, Nicolas (November 2003), "On the number of Niven numbers up to x", Fibonacci Quarterly, 41 (5): 431—440.
- ↑ De Koninck, Jean-Marie; Doyon, Nicolas; Katái, I. (2003), "On the counting function for the Niven numbers", Acta Arithmetica, 106: 265—275, doi:10.4064/aa106-3-5.