Унитарный оператор

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор $U$ : $H$ → $H$ на гильбертовом пространстве $H$, который удовлетворяет соотношению

$U^{*}U=UU^{*}=I$

где $U^{*}$ — эрмитово сопряжённый к $U$ оператор, и $I$ : $H$ → $H$ единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

1. $U$ сохраняет скалярное произведение 〈  ,  〉 гильбертового пространства, то есть для всех векторов $x$ и $y$ в гильбертовом пространстве $\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .$
2. $U$ — сюръективный оператор.

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

1. $U$ сохраняет скалярное произведение, и
2. образ $U$ — плотное множество.

Чтобы увидеть это, заметим, что $U$ изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что $U$ сохраняет скалярное произведение. Образ $U$ — плотное множество. Очевидно, что $U^{-1}$ = $U^{*}$.

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре элемент U алгебры называется унитарным элементом, если

$U^{*}U=UU^{*}=I$

где I единичный элемент.

Свойства унитарных преобразований:

• оператор унитарного преобразования всегда обратим
• если оператор ${\hat {H}}$ эрмитов, то оператор ${\hat {U}}=\exp(i{\hat {H}})$ унитарен.

Примеры

• Тождественный оператор — тривиальный пример унитарного оператора.
• Вращения в $\mathbb {R} ^{2}$ — это простейший нетривиальный пример унитарного оператора. Вращения не изменяют длины векторов и угол между двумя векторами. Этот пример также может быть обобщён на $\mathbb {R} ^{3}$.
• В векторном пространстве $\mathbb {C}$ комплексных чисел умножение на число с модулем $1$, то есть число вида $e^{i\theta }$ для $\theta \in \mathbb {R}$, является унитарным оператором. $\theta$ называется фазой. Можно заметить, что значение $\theta$, кратное $2\pi$, не влияет на результат, поэтому множество независимых унитарных операторов в $\mathbb {C}$ топологически эквивалентно окружности.

Свойства

• Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности. Это можно увидеть из спектральной теоремы для нормального оператора. По этой теореме, U унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю функцию $f$ на $L^{2}(\mu )$, для некоторого пространства с мерой ($X$, $\mu$). Из $UU^{*}=I$ следует $|f(x)|^{2}=1$.

Унитарные преобразования в физике

В квантовой механике состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве. Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице. Соответственно, эволюция квантовой системы во времени — это некоторый оператор, зависящий от времени, и, из-за требования сохранения нормы, он является унитарным. Неунитарные операторы эволюции (или, что то же самое, неэрмитовые гамильтонианы) для изолированной квантовой системы в квантовой механике запрещены.

Литература

• Унитарный оператор // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 242. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).