Полуинвариант (теория вероятностей)

Полуинварианты, или семиинварианты, или кумулянты — коэффициенты в разложении логарифма характеристической функции случайной величины в ряд Маклорена.

Определение

Через характеристическую функцию

Полуинварианты, в отличие от моментов, не могут быть определены напрямую через функцию распределения $p(x)$. Их определяют либо через логарифм характеристической функции $G(u)$, либо через моменты $\mu$ (второе определение - вытекает из первого). Формально, полуинварианты определяются как коэффициенты в разложении в ряд Маклорена логарифма характеристической функции аналогично тому, как определяются моменты для самой характеристической функции:

$\ln G(u)\,=\,iu\kappa _{1}+{\frac {(iu)^{2}}{2!}}\kappa _{2}+\ldots +{\frac {(iu)^{n}}{n!}}\kappa _{n}+\ldots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(iu)^{n}}{n!}}\kappa _{n}$

Единственное отличие состоит в том, что первый член этого ряда полагается равным $0$, а не $1$ как в случае моментов. Поэтому, логарифм характеристической функции является производящей функцией для полуинвариантов, его иногда называют второй характеристической функцией и обозначают:

$\varphi (u)\,\equiv \,\ln G(u).$

Интерес к этой функции обусловлен тем, что она аддитивна для независимых случайных величин, то есть для суммы таких величин она равна сумме соответствующих функций для каждой величины:

$\ln G(a+b)=\ln G(a)+\ln G(b).$

Это с очевидностью следует из того факта, что характеристическая функция мультипликативна по независимым случайным величинам (равна произведению соответствующих функций). Это же свойство, как следствие, присуще полуинвариантам: в частности, поскольку первым и вторым полуинвариантом случайной величины служат её математическое ожидание и дисперсия, то для суммы независимых случайных величин они соответственно равны сумме математических ожиданий или дисперсий самих величин. (Это верно и для третьего центрального момента, который поэтому совпадает с третьим полуинвариантом. Для четвёртых и более высоких центрированных моментов это равенство уже не выполняется.) Указанное свойство упрощает работу с кумулянтами, так как для них, в отличие от моментов распределения суммы независимых случайных величин, имеющих достаточно громоздкое выражение через моменты самих величин, выражение через полуинварианты слагаемых весьма просто.

Из определения ряда Маклорена полуинвариант порядка $n$ определяется как:

$\kappa _{n}\,=\,(-i)^{n}\left.{\frac {\,\partial ^{n}\varphi }{\,\partial u^{n}}}\right|_{u=0}.$

В частности, для первого полуинварианта имеем:

$\kappa _{1}\,=\,-i\left.{\frac {\,\partial \varphi }{\,\partial u}}\right|_{u=0}\,=\,-i\left.{\frac {G'_{u}}{\,G(u)}}\right|_{u=0}.$

Через моменты

Выведем теперь альтернативное определение полуинварианта через моменты. Разлагая характеристическую функцию $G(u)$ в ряд Маклорена через моменты, можно переписать первую формулу в следующем виде:

$\ln \left\{1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(iu)^{n}}{n!}}\mu _{n}\right\}\,=\,\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(iu)^{n}}{n!}}\kappa _{n}.$

Разлагая и логарифм в ряд Маклорена и предполагая, что условия на его радиус сходимости выполняются, мы получим:

$\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m+1}{\frac {\displaystyle \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(iu)^{n}}{n!}}\mu _{n}\right)^{\!\!m}}{m}}\,=\,\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(iu)^{n}}{n!}}\kappa _{n}.$

Приравнивая коэффициенты при равных степенях $iu$ в суммах слева и справа, получаем:

${\begin{cases}\kappa _{1}=\mu _{1}\\[1mm]\kappa _{2}=-\mu _{1}^{2}+\mu _{2}\\[1mm]\kappa _{3}=2\mu _{1}^{3}-3\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{3}\\[1mm]\;\ldots \end{cases}}.$

Интересный метод, основанный на производной для более простого отыскания этих взаимоотношений, а также эти выражения для более высоких порядков описаны у Кендалла. Он также даёт общую формулу для поиска моментов через полуинварианты и обратно, эта же формула встречается и у Ширяева. Кстати, эту общую формулу в некоторой литературе так и называют формулой Ширяева—Леонтьева, хотя по всей видимости они не были первыми, кто её вывели.

История

Полуинварианты были введены датским астрономом и математиком Торвальдом Николаем Тиле в 1889 году (по другим данным в 1903 году). В русском языке также используется название семиинварианты (от латинского semi-, что означает полу-, половина). Тиле назвал эти статистические величины полуинвариантами (semi-invariant), и до 1930-х годов их так и называли, пока английский статистик Фишер не предложил название кумулянты (англ. cumulants), ввиду их кумулятивных свойств, и со временем именно это название и закрепилось в литературе. Тем не менее, в русскоязычной литературе предпочтение всегда отдавалось оригинальному названию, например, Ширяев использует только лишь оригинальное латинское название. Для обозначения полуинвариант почти всегда используется греческая буква $\kappa$, хотя, например, Ширяев использует $\zeta$.

Несмотря на то, что введены полуинварианты были давно, им уделяли очень мало внимания; только лишь в конце 1930-х годов Фишер впервые провёл систематическое исследование полуинвариантов.

На сегодняшний день, полуинварианты прочно вошли в мир современной статистики и её приложений. В частности, они очень широко используются в области обработки сигналов, что связано с некоторыми их полезными свойствами: например, все полуинварианты третьего и более высоких порядков равны нулю для нормальных процессов, а смешанные полуинварианты всех порядков статистически независимых величин равны нулю. Используя понятие полуинвариантов, можно ввести более общее понятие статистической независимости двух величин до $n$-го порядка, подразумевая под этим то, что все смешанные полуинварианты порядка до $n$ (включительно) равны нулю.