Степень двойки

Визуализация степеней двойки

Степень двойки — натуральное число, равное числу 2, умноженному на себя некоторое количество раз. 2ⁿ — обозначение (n — целое положительное число).

Вот несколько первых степеней двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, …

В математике

• $2^{n}$ — количество подмножеств $n$-элементного множества.
• Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна $2^{n}$.
• Число Мерсенна имеет вид $M_{n}=2^{n}-1$.
  • Самое большое известное простое число равно $M_{82589933}=2^{82589933}-1$, оно состоит из 24 862 048 цифр.
• Число Ферма имееет вид $F_{n}=2^{2^{n}}+1$, где $n\geqslant 0$.

В информатике

Полупроводниковая логика работает с двумя состояниями (условно «есть напряжение — нет напряжения»), и степени двойки важны в компьютерном деле — точно так же, как важны в ручном счёте степени десятки.

С помощью $n$-проводной шины можно адресовать $2^{n}$ ячеек памяти, и потому установленная ёмкость полупроводниковой памяти — всегда степень двойки. В информатике степени числа 2 с показателем, кратным 10, применяются при измерении объёма информации (в байтах, килобайтах, мегабайтах, гигабайтах и т. д; хотя «двоичные» единицы измерения рекомендуется называть кибибайт, мебибайт, гибибайт и т. д. соответственно). Объекты, не являющиеся полупроводниковой памятью (жёсткие диски, скорость передачи данных), или отвязанные от установленной ёмкости (твердотельные накопители) часто измеряют в десятичных или двоично-десятичных единицах.

$n$-битная ячейка памяти хранит одно из $2^{n}$ разных значений, от 0 до $2^{n}-1$. Например, игра Pac-Man имеет 255 действующих уровней и непроходимый 256-й, в первой The Legend of Zelda кошелёк персонажа ограничен 255 монетами. В оцифровке графики и звука распространены $n$-битные сэмплы, и цветовые каналы R/G/B традиционно записываются числами от 0 до 255.

При умножении числа на $2^{n}$ его нужно просто сдвинуть на $n$ битов, потому в компьютерном деле любят элементы, чей размер — или степень двойки (примеры: во многих компьютерах знакоместо 8×8 пикселей; сектор диска 512 или 4096 байт), или сумма/разность небольшого количества таковых (пример: разрешение VGA 640 = 512 + 128, 480 = 512 − 32).

Существуют алгоритмы типа «разделяй и властвуй», которые работают на объектах, чей размер — степень двойки (возможно, ±1), а если нет — либо расширяют объект, либо используют дополнительные ветки. Быстрое преобразование Фурье крайне редко пишут для массивов, чей размер — не степень двойки. Задача синхронизации стрелков в общем случае решается шестью состояниями автомата, но для степеней двойки плюс-минус один — четырьмя.

В теории музыки

В нотной записи длительности нот имеют продолжительность, равную целой ноте, деленную на степень двойки; например половинная нота (1/2), четвертная нота (1/4), восьмая нота (1/8) и шестнадцатая нота (1/16). Ноты с точкой или иным образом измененные имеют другую длительность. В тактовых размерах нижняя цифра, единица ударов, которую можно рассматривать как знаменатель дроби, почти всегда является степенью двойки.

Если отношение частот двух нот равно степени двойки, то интервал между этими нотами равен полной октаве. В этом случае соответствующие ноты имеют одно и то же название.