Плоскость

Запрос «Плоскостность» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Две пересекающиеся плоскости

Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически.

Некоторые характеристические свойства плоскости

• Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
• Две различные плоскости либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой.
• Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
• Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
• Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Плоскость и два её нормальных вектора: n₁ и n₂

Уравнения плоскости

Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (1816—1818).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

• Общее уравнение (полное) плоскости

$Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)$

где $A,B,C$ и $D$ — постоянные, причём $A,B$ и $C$ одновременно не равны нулю; в векторной форме:

$(\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0$

где $\mathbf {r}$ — радиус-вектор точки $M(x,y,z)$, вектор $\mathbf {N} =(A,B,C)$ перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора $\mathbf {N}$:

$\cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

$\cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

$\cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.$

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При $D=0$ плоскость проходит через начало координат, при $A=0$ (или $B=0$, $C=0$) плоскость параллельна оси $Ox$ (соответственно $Oy$ или $Oz$). При $A=B=0$ ($A=C=0$, или $B=C=0$) плоскость параллельна плоскости $Oxy$ (соответственно $Oxz$ или $Oyz$).

• Уравнение плоскости в отрезках:

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,$

где $a=-D/A$, $b=-D/B$, $c=-D/C$ — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях $Ox,Oy$ и $Oz$.

• Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ ,перпендикулярной вектору нормали $\mathbf {N} (A,B,C)$:

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;$

в векторной форме:

$((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.$

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M(x_{i},y_{i},z_{i})$, не лежащие на одной прямой:

$((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} ))=0$

(смешанное произведение векторов), иначе

$\left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.$

• Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)$

в векторной форме:

$(\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )\mathbf {-p} =0,$

где $\mathbf {N^{0}}$- единичный вектор, $p$ — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

$\mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$

(знаки $\mu$ и $D$ противоположны).

Определение по точке и вектору нормали

В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, $r_{0}$ является радиусом-вектором точки $P_{0}$, заданной на плоскости, и допустим, что n — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка $P$ с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от $P_{0}$ к $P$, перпендикулярен n.

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:

$\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.$ (Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)

Развернув выражение, мы получим:

$n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,$

что является знакомым нам уравнением плоскости.

Например: Дано: точка на плоскости $P(2,6,-3)$ и вектор нормали $N(9,5,2)$.

Уравнение плоскости записывается так:

$9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0$

$-18+9x-30+5y+6+2z=0$

$9x+5y+2z-42=0$

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

• Отклонение точки $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ от плоскости заданной нормированным уравнением $(2)$

$\delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;$

$\delta >0$,если $M_{1}$ и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае $\delta <0$. Расстояние от точки до плоскости равно $|\delta |.$

• Расстояние $\rho$ от точки $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$, до плоскости, заданной уравнением $ax+by+cz+d=0$, вычисляется по формуле:

$\rho ={\frac {\mid ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\mid }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

Расстояние между параллельными плоскостями

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями $Ax+By+Cz+D_{1}=0$ и $Ax+By+Cz+D_{2}=0$:

$d={\frac {\mid D_{2}-D_{1}\mid }{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями ${\bar {n}}({\bar {r}}-{\bar {r_{1}}})=0$ и ${\bar {n}}({\bar {r}}-{\bar {r_{2}}})=0$:

$d={\frac {\mid [{\bar {r}}_{2}-{\bar {r}}_{1},{\bar {n}}]\mid }{\mid {\bar {n}}\mid }}$

Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E₃ проходит через линию пересечения плоскостей E₁ и E₂, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке

Связанные понятия

• Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

$\cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}};$

Если в векторной форме, то

$\cos \varphi ={\frac {(\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )}{|\mathbf {N_{1}} ||\mathbf {N_{2}} |}}.$

• Плоскости параллельны, если

${\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}$ или $[\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} ]=0.$ (Векторное произведение)

• Плоскости перпендикулярны, если

$A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0$ или $(\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )=0$. (Скалярное произведение)

• Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид:

$\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0,$

где $\alpha$ и $\beta$ — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.

• Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:

$\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,$

где $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.

Вариации и обобщения

Плоскости в неевклидовом пространстве

Метрика плоскости не обязана быть евклидовой. В зависимости от введенных отношений инцидентности точек и прямых, различают проективные, аффинные, гиперболические и эллиптические плоскости.

Многомерные плоскости

Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство $K^{n}(V,P)$, над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат $O,{\vec {e_{1}}},...,{\vec {e_{n}}}$. m-плоскостью называется множество точек $\alpha$, радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению $\alpha =\{x\mid x=A_{nm}{\vec {t_{m}}}+{\vec {d}}\}.$ $A_{nm}$ — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, ${\vec {t}}$ — вектор переменных, ${\vec {d}}$ — радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
$x={\vec {a_{1}}}t_{1}+\ldots +{\vec {a_{m}}}t_{m}+d,{\vec {a_{i}}}\in V$ — векторное уравнение m-плоскости.
Вектора ${\vec {a_{i}}}$ образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости $\alpha ,\beta$ называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и $\exists x\in \alpha :x\notin \beta$.

(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть ${\vec {n}}$ — нормальный вектор плоскости, ${\vec {r}}=(x^{1},...,x^{n})$ — вектор переменных, ${\vec {r_{0}}}$ — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
$({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}},{\vec {n}})=0$ — общее уравнение плоскости.
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: $\det({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}|A_{n,n-1})=0$, или:
${\begin{vmatrix}x^{1}-x_{0}^{1}&a_{1}^{1}&a_{2}^{1}&...&a_{n-1}^{1}\\x^{2}-x_{0}^{2}&a_{1}^{2}&a_{2}^{1}&...&a_{n-1}^{2}\\...&...&...&...\\x^{n}-x_{0}^{n}&a_{1}^{n}&a_{2}^{n}&...&a_{n-1}^{n}\end{vmatrix}}=0$.
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.

Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: $\alpha =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}t+\{b_{x},b_{y},b_{z}\}$. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.

Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

См. также

• Сагиттальная плоскость
• Полуплоскость
• Пространство

Литература

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит, 2002. — 240 с.
• Плоскость // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 318—319.

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Плоскость