Поток векторного поля

Пото́к ве́кторного по́ля — термин, используемый в математике для двух различных понятий:

• поток векторного поля через поверхность, это понятие широко используется и в физике, особенно в электродинамике;

• фазовый поток — поток векторного поля ${\vec {A}}$ — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов $\Gamma _{t}$, определяемых дифференциальным уравнением ${\vec {A}}(\Gamma _{t}(x))=d\Gamma _{t}(x)/dt$.

Ниже представлено первое из названных понятий (второму посвящена отдельная статья).

Поток векторного поля через поверхность

Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности $S$. По определению,

${{\Phi }_{F}}=\iint \limits _{S}{\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}$,

где $\mathbf {F} =\mathbf {F(X)}$ — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), $\mathbf {n}$ — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы $\mathbf {n}$ было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), $dS$ — элемент поверхности.

В трёхмерном случае $\mathbf {X} =(x,y,z),\mathbf {F} =\mathbf {F(X)} =\left(F_{x}(\mathbf {X} ),F_{y}(\mathbf {X} ),F_{z}(\mathbf {X} )\right)$, а поверхностью является обычная двумерная поверхность.

Иногда применяется обозначение

$d\mathbf {S} =\mathbf {n} \,dS$.

тогда поток записывается в виде

${{\Phi }_{F}}=\iint \limits _{S}{\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$.

Размерность потока — это размерность величины $\mathbf {F}$, домноженная на квадратный метр (в СИ).

Некоторые физические примеры

Из гидродинамики

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения $\mathbf {v} =\mathbf {v} (x,y,z)$. Тогда объём жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность $S$, будет равен потоку векторного поля $\mathbf {v}$.

Если плотность равна $\rho$, то масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность будет равна потоку величины $\rho \mathbf {v}$:

${\frac {dM}{dt}}={{\Phi }_{\rho \mathbf {v} }}=\iint \limits _{S}{\rho \mathbf {v} \cdot d\mathbf {S} }$.

Из электродинамики

В основных уравнениях электродинамики — уравнениях Максвелла — фигурируют потоки вектора электрической индукции и вектора магнитной индукции

${{\Phi }_{D}}=\iint \limits _{S}{\mathbf {D} \cdot d\mathbf {S} }\quad$ и $\quad {{\Phi }_{B}}=\iint \limits _{S}{\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }$.

А именно, эти потоки, если они вычислены для замкнутой поверхности, равны заряду внутри поверхности:

$\oint \limits _{S}{\mathbf {D} \cdot d\mathbf {S} }=Q\quad$ и $\quad \oint \limits _{S}{\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }=0$,

где $Q$ — электрический заряд, а поток вектора $\mathbf {B}$ нулевой, так как магнитные заряды не существуют.

Ещё пример из электродинамики. Электрический ток представляет собой поток векторного поля плотности тока:

$I=\iint \limits _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}$

через поперечное сечение токоведущего проводника.

О понятии плотности потока

Если векторным полем $\mathbf {F}$, поток которого вычисляется, характеризуется перенос какой-либо скалярной величины (например, массы в примере с жидкостью или заряда в примере с током; другие возможные случаи — перенос энергии, перенос спина), то такое поле в данном контексте называется плотностью потока. В таких случаях $\mathbf {F}$ имеет структуру $\mathbf {F} =\rho _{f}\mathbf {v}$, где $\rho _{f}$ обозначает плотность переносимой величины (массы в кг/м³, заряда в Кл/м³, энергии в Дж/м³ и т.д.), а $\mathbf {v}$ — скорость переноса. Если не переносится ничего (как для потока $\mathbf {D}$, $\mathbf {B}$), подобное название не имеет смысла.

См. также

• Плотность потока
• Теорема Гаусса
• Векторная трубка