Декартово дерево

Декартово дерево
англ. Treap
Тип	Двоичное дерево поиска
Год изобретения	1989
Автор	Cecilia Aragon, Raimund Seidel
Сложность в О-символике
В среднем В худшем случае Построение $O(n)$ Поиск $O(\log n)$ Вставка $O(\log n)$ Удаление $O(\log n)$
Медиафайлы на Викискладе

Дека́ртово де́рево — это двоичное дерево, в узлах которого хранятся:

• ссылки на правое и левое поддерево;
• ссылка на родительский узел (необязательно);
• ключи x и y, которые являются двоичным деревом поиска по ключу x и двоичной кучей по ключу y; а именно, для любого узла дерева n:
  • ключи x узлов правого (левого) поддерева больше (меньше) либо равны ключу x узла n;
  • ключи y узлов правого и левого детей больше либо равны ключу y узла n.

Ссылка на родительский узел не обязательна, она желательна только для линейного алгоритма построения дерева.

Декартово дерево впервые было описано Сесилией Арагон и Раймундом Зиделем в 1989.

Декартово дерево не является самобалансирующимся в обычном смысле, и применяют его по следующим причинам:

• Проще реализуется по сравнению, например, с настоящими самобалансирующимися деревьями вроде красно-чёрного.
• Хорошо ведёт себя «в среднем», если ключи y раздать случайно.
• Типичная для сортирующего дерева операция «разделить по ключу x на „меньше x₀“ и „не меньше x₀“» работает за O(h), где h — высота дерева. На красно-чёрных деревьях придётся восстанавливать балансировку и окраску узлов.

Недостатки декартового дерева:

• Большие накладные расходы на хранение: вместе с каждым элементом хранятся два-три указателя и случайный ключ y.
• Скорость доступа O(n) в худшем, хотя и маловероятном, случае. Поэтому декартово дерево недопустимо, например, в ядрах ОС.

Терминология

В англоязычной литературе декартово дерево, построенное для массива из заданных ключей и присвоенных им при построении случайных весов называется словом-бумажником treap, так как совмещает свойства сортирующего дерева-кучи (heap) и случайного двоичного дерева (tree) с логарифмическим ожиданием высоты. В русском языке были предложены аналогичные слову treap слова дуча (дерево+куча), дерамида (дерево+пирамида), курево (куча+дерево).

Простейший алгоритм построения декартового дерева

Простейший для понимания алгоритм построения декартового дерева по множеству данных пар (x, y) выглядит следующим образом. Упорядочим все пары по ключу x и пронумеруем получившуюся последовательность ключей y:

y(1), y(2), y(3), …, y(n).

Найдём минимальный ключ y. Пусть это будет y(k). Он будет корнем дерева. Ключ y(k) делит последовательность ключей y на две:

y(1), …, y(k−1); y(k+1), …, y(n).

В каждой из них найдём минимальный y — это будут дети узла y(k) — левый и правый. С получившимися 4 кусочками (возможно меньше) поступим аналогичным образом. Предложенный алгоритм построения декартового дерева основан на рекурсии: находим в последовательности минимальный y и назначаем его корнем. Найденный y разбивает последовательность на две части, для каждой из частей запускаем алгоритм построения декартового дерева.

Схематически это можно записать так:

T( y(1), ..., y(n) ) =  root: y(k)   
                           left_tree: T( y(1), ..., y(k−1) )   
                           right_tree: T( y(k+1), ..., y(n)) )
                        where  y(k) = min( y(1), ..., y(n) )

Свойство однозначности структуры

Из данного алгоритма следует, что множество пар (x, y) однозначно определяет структуру декартового дерева. Заметим для сравнения, что множество ключей, которые хранятся в двоичном дереве поиска, не определяют однозначно структуру дерева. То же самое касается двоичной кучи — какова будет структура двоичной кучи (как ключи распределятся по узлам), зависит не только от самого множества ключей, но и от последовательности их добавления. В декартовом дереве такой неоднозначности нет.

Линейный алгоритм построения дерева

Другой алгоритм построения дерева также основан на рекурсии. Только теперь мы последовательно будем добавлять элементы y и перестраивать дерево. Дерево T(y(1), …, y(k+1)) будет строиться из дерева T(y(1), …, y(k)) и следующего элемента y(k+1).

T( y(1), ..., y(k+1) ) = F ( T( y(1), ..., y(k) ), y(k+1) )

На каждом шаге будем помнить ссылку на последний добавленный узел. Он будет самым правым. Действительно, мы упорядочили ключи y по прикреплённому к ним ключу x. Так как декартово дерево — это дерево поиска, то после проекции на горизонтальную прямую ключи x должны возрастать слева направо. Самый правый узел всегда имеет максимально возможное значение ключа x.

Функция F, которая отображает декартово дерево T(y(1), …, y(k)) предыдущего шага и очередное y(k+1) в новое дерево T(y(1), …, y(k+1)), выглядит следующим образом. Вертикаль для узла y(k+1) определена. Нам необходимо определиться с его горизонталью. Для начала мы проверяем, можно ли новый узел y(k+1) сделать правым ребёнком узла y(k) — это следует сделать, если y(k+1) > y(k). Иначе мы делаем шаг по склону от узла y(k) вверх и смотрим на значение y, которое там хранится. Поднимаемся вверх по склону, пока не найдём узел, в котором значение y меньше, чем y(k+1), после чего делаем y(k+1) его правым ребёнком, а его предыдущего правого ребёнка делаем левым ребёнком узла y(k+1).

Это алгоритм амортизационно (в сумме за все шаги) работает за линейное (по числу добавляемых узлов) время. Действительно, как только мы «перешагнули» через какой-либо узел, поднимаясь вверх по склону, то мы его уже никогда не встретим при добавлении следующих узлов. Таким образом, суммарное число шагов вверх по склону не может быть больше общего числа узлов.

Ссылки

• Декартово дерево на neerc.ifmo.ru/wiki
• Декартово дерево по неявному ключу на neerc.ifmo.ru/wiki
• Реализация декартова дерева на C++ с сайта e-maxx.ru

Литература

• Raimund Seidel, Cecilia R. Aragon (1996). "Randomized Search Trees". ALGORITHMICA. pp. 540–545. {{cite conference}}: Неизвестный параметр |booktitle= игнорируется (|book-title= предлагается) (справка)