Геометрическая прогрессия

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$, $\ldots$ (члены прогрессии), в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих членов, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на ненулевое фиксированное число $q$ для данной последовательности (знаменатель прогрессии). При этом $b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n}=b_{n-1}q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2$.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

Произведением первых $n$ членов геометрической прогрессии $\left\{b_{n}\right\}$ называется произведение от $b_{1}$ до $b_{n}$, то есть выражение вида $\prod \limits _{i=1}^{n}b_{i}=b_{1}\cdot b_{2}\cdot b_{3}\cdot \ldots \cdot b_{n-2}\cdot b_{n-1}\cdot b_{n}.$ Обозначение: $P_{n}$.

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

$b_{n}=b_{1}q^{n-1}.$

Если каждый член геометрической прогрессии больше предыдущего, то прогрессия называется возрастающей; если меньше предыдущего, то убывающей.

Геометрическая прогрессия возрастает, если выполняется один из наборов условий:

$b_{1}>0\quad$ и $\quad q>1$

или

$b_{1}<0\quad$ и $\quad 0<q<1$.

Геометрическая прогрессия убывает, если выполняется один из наборов условий:

$b_{1}<0\quad$ и $\quad q>1$

или

$b_{1}>0\quad$ и $\quad 0<q<1$.

Доказательство

Запишем разность между $\left(n+1\right)$-м и $n$-м членами геометрической прогрессии по формуле общего члена:

$b_{n+1}-b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}\cdot \left(q-1\right).$

Для возрастающей прогрессии эта разность должна быть положительной независимо от номера $n$, а для убывающей — отрицательной. Условия, выписанные в доказываемом утверждении, как раз и гарантируют, что разность членов $b_{n+1}$ и $b_{n}$ будут иметь определённый знак.■

При $q<0$ — знакочередующейся, при $q=1$ — стационарной (постоянной).

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

$|b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},$

то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членов.

Однако это не только свойство, но и признак геометрической прогрессии, формулировка которого звучит следующим образом:

Последовательность положительных чисел тогда и только тогда является геометрической прогрессией, когда каждый её член, начиная со второго, есть среднее геометрическое предшествующего и последующего членов.

Данный признак можно расширить на другие случаи. Если её члены отрицательны, получим $b_{n}=-{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}$, где $n\geqslant 2$.

Если знаки членов прогрессии чередуются, получим $b_{n}=\left(-1\right)^{n+j}{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}$, где $j=0$ либо $j=1$ и $n\geqslant 2$.

Графическая интерпретация

Если на координатной плоскости нанести точки с координатами $\left(n;\,b_{n}\right)$, где $n$ — номер (натуральное число), а $a_{n}$ — $n$-й член некоторой геометрической прогрессии, у которой $q>0$, то все точки будут принадлежать графику функции:

$y=b_{1}\cdot q^{\left(x-1\right)}={\dfrac {b_{1}}{q}}\cdot q^{x},$

где $q$ — это знаменатель геометрической прогрессии, а $b_{1}$ — её первый член . Это означает, что справедлива теорема:

Для того чтобы последовательность $\left\{a_{n}\right\}$ являлась арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы $a_{n}$ являлась линейной функцией (от $n$), заданной на множестве натуральных чисел.

Примеры

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

• Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата.
• Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
• 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
• 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
• $\pi$, $\pi$, $\pi$, $\pi$ — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
• 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
• 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства

Свойства знаменателя геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:

• $q={\dfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}$

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

• $q={\sqrt[{n-k}]{\dfrac {b_{n}}{b_{k}}}},{\text{где }}k<n;\;\forall n,\forall k\in \mathbb {N} .$

Свойства членов геометрической прогрессии

• Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:

$b_{n}=b_{n-1}\cdot q$

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

• Формула общего ($n$-го) члена:

$b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}.$

• Обобщённая формула общего члена:

$b_{n}=b_{k}\cdot q^{n-k},{\text{где }}k<n;\;\forall n,\forall k\in \mathbb {N} .$

• $b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}$, если $1<i<n$.

Доказательство

$b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.$

• Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство

$\log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)$ Формула общего члена арифметической прогрессии: $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$.
В нашем случае
$a_{1}=\log(b_{1})$,
$d=\log(q)$.

• $b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}$, если $1<i<n$.

Доказательство

$b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.$

Пусть $a_{k},a_{l},a_{m}$ — соответственно $k$-й, $l$-й, $m$-й члены геометрической прогрессии, где $k,\,l,\,m\in \mathbb {N}$. Тогда для всякой такой тройки выполняется комплементарное свойство геометрической прогрессии, называемое тождеством геометрической прогрессии:

$b_{k}^{l-m}\cdot b_{l}^{m-k}\cdot b_{m}^{k-l}=1.$

• Произведение первых $n$ членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле

  $P_{n}=\left(b_{1}\cdot b_{n}\right)^{\frac {n}{2}}.$

Доказательство

$P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}.$ Раскроем произведение $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}$: $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}\cdot q^{1}\cdot q^{2}\cdot \ldots \cdot q^{i-1}=q^{0+1+2+\ldots +(i-1)}.$ Выражение $0+1+2+\ldots +(n-1)$ представляет собой арифметическую прогрессию с $a_{1}=0$ и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна $S_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=n\cdot {\frac {0+(n-1)}{2}}.$ Откуда $P_{n}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=\left(b_{1}b_{1}q^{n-1}\right)^{\frac {n}{2}}=\left(b_{1}b_{n}\right)^{\frac {n}{2}}.$

• Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле

  $P_{k,n}={\dfrac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Доказательство

$P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

• Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии

  $S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\dfrac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}$

Доказательство

• Доказательство через сумму:

  $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}.$

  То есть $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}$ или

  $\left(1-q\right)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n}.$

  Откуда $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$

• Доказательство индукцией по $n$.

  Пусть $S_{n}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$

  При $n=1$ имеем: $S_{1}=\sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q}}.$

  При $n\rightarrow n+1$ имеем: $S_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+1}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}}{1-q}}+q^{n}\right)=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}}\right)=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

• Сумма всех членов убывающей прогрессии:

$\left|q\right|<1$, то $b_{n}\to 0$ при $n\to +\infty$, и

$S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}$ при $n\to +\infty$.

Доказательство

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}{\frac {q^{n}}{1-q}}\right)={\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}.$ Если $\left|q\right|<1,$ то $q^{n}\to 0$ при $n\to \infty .$ Поэтому $\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}=0.$ Следовательно $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {b_{1}}{1-q}}.$

Свойства суммы геометрической прогрессии

• $b_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$
• $S_{n}=\sigma _{n}\cdot b_{1}b_{n}$

где $\sigma _{n}$ — сумма обратных величин, то есть $\sigma _{n}={\dfrac {1}{b_{1}}}+{\dfrac {1}{b_{2}}}+\cdots +{\dfrac {1}{b_{n-1}}}+{\dfrac {1}{b_{n}}}$.

Свойства произведения геометрической прогрессии

• $P_{n}={b}_{1}^{n}\cdot {q}^{\frac {n\left(n-1\right)}{2}}$
• $P_{n}={\left({\dfrac {S_{n}}{\sigma _{n}}}\right)}^{\frac {n}{2}}$, где $\sigma _{n}$ — сумма обратных величин, то есть $\sigma _{n}={\dfrac {1}{b_{1}}}+{\dfrac {1}{b_{2}}}+\cdots +{\dfrac {1}{b_{n-1}}}+{\dfrac {1}{b_{n}}}$.
• $b_{n+1}={\dfrac {P_{n+1}}{P_{n}}}$
• $P_{2n}=P_{n}\cdot {\sqrt[{3}]{P_{3n}}}$
• ${\sqrt[{k}]{P_{k}^{l-m}}}\cdot {\sqrt[{l}]{P_{l}^{m-k}}}\cdot {\sqrt[{m}]{P_{m}^{k-l}}}=1$

См. также

• Арифметическая прогрессия
• Арифметико-геометрическая прогрессия
• Числа Фибоначчи
• Показательная функция
• Сумма ряда