Вектор Римана-Зильберштейна - комплекснозначный трёхмерный вектор, описывающий электромагнитное поле:
F
=
E
+
i
H
,
F
∈
C
3
{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +i\mathbf {H} ,~\mathbf {F} \in \mathbb {C} ^{3}}
где
E
,
H
{\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {H} }
E
,
H
∈
R
3
{\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {H} \in \mathbb {R} ^{3}}
c
=
1
{\displaystyle c=1}
Свободное от зарядов и токов электромагнитное поле,
представляющее собою свет,
описывается изотропным вектором (нульвектором) Римана-Зильберштейна:
F
=
E
+
i
H
,
F
2
=
0
{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +i\mathbf {H} ,~\mathbf {F} ^{2}=0}
Вещественная и мнимая составляющие такого нульвектора, эредставляющие собой напряжённости электрического и магнитного полей, взаимно-ортогональны и равны по величине:
E
⊥
H
,
E
=
H
{\displaystyle \mathbf {E} \perp \mathbf {H} ,~E=H}
Аналогом 4-тока в релятивистской бикватернионной алгебре служит бикватернион тока , имеющий в скалярно-векторном представлении следующий вид:
J
=
4
π
(
ρ
,
j
)
.
{\displaystyle J=4\pi \left(\rho ,\;\mathbf {j} \right).}
В бикватернионном представлении уравнения Максвелла выражаются в виде[ 1] [ 2]
D
F
=
J
¯
,
{\displaystyle D\mathbf {F} ={\overline {J}},}
где
F
=
E
+
i
H
{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +i\mathbf {H} }
D
{\displaystyle D}
4-градиента ):
D
=
(
∂
t
,
∇
)
{\displaystyle D=(\partial _{t},\nabla )}
D
F
=
(
∂
t
,
∇
)
F
=
(
∇
⋅
F
,
∂
t
F
+
i
∇
×
F
)
=
(
∇
⋅
E
+
i
∇
⋅
H
,
∂
t
E
+
i
∂
t
H
+
i
∇
×
E
−
∇
×
H
)
,
{\displaystyle D\mathbf {F} =(\partial _{t},\nabla )\mathbf {F} =\left(\nabla \cdot \mathbf {F} ,\partial _{t}\mathbf {F} +i\nabla \times \mathbf {F} \right)=\left(\nabla \cdot \mathbf {E} +i\nabla \cdot \mathbf {H} ,\partial _{t}\mathbf {E} +i\partial _{t}\mathbf {H} +i\nabla \times \mathbf {E} -\nabla \times \mathbf {H} \right),~~}
J
¯
=
4
π
(
ρ
,
−
j
)
{\displaystyle {\overline {J}}=4\pi (\rho ,-\mathbf {j} )}
D
F
=
J
¯
⇔
{
∇
⋅
E
+
i
∇
⋅
H
=
4
π
ρ
∂
t
E
+
i
∂
t
H
+
i
∇
×
E
−
∇
×
H
=
−
4
π
j
⇔
{
∇
⋅
E
=
4
π
ρ
∇
⋅
H
=
0
∂
t
E
−
∇
×
H
=
−
4
π
j
∂
t
H
+
∇
×
E
=
0
{\displaystyle D\mathbf {F} ={\overline {J}}~\Leftrightarrow ~{\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} +i\nabla \cdot \mathbf {H} =4\pi \rho \\\partial _{t}\mathbf {E} +i\partial _{t}\mathbf {H} +i\nabla \times \mathbf {E} -\nabla \times \mathbf {H} =-4\pi \mathbf {j} \end{cases}}~\Leftrightarrow ~{\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \\\nabla \cdot \mathbf {H} =0\\\partial _{t}\mathbf {E} -\nabla \times \mathbf {H} =-4\pi \mathbf {j} \\\partial _{t}\mathbf {H} +\nabla \times \mathbf {E} =0\end{cases}}}
Последняя система уравнений и представляет собою уравнения Максвелла. Таким образом, мы доказали их эквивалентность исходному уравнению в бикватернионах.
Термин "вектор Римана-Зильберштейна" был, по-видимому, введён И.Бялиницким-Бирулей[ 3]
↑ Ludwik Silberstein [англ.] ↑ K. Imaeda, «A new formulation of classical electrodynamics», Nuovo Cimento B, 32:1 (1978), С.144-148
↑ Iwo Bialynicki-Birula. «The beauty of the Riemann-Silberstein vector» (2005)
