Алгебра Гейтинга
Страницу в данный момент активно редактирует участник Bezik. |
Алгебра Гейтинга (псевдобулева алгебра) — импликативная решётка с наименьшим элементом .
Наряду с другими подклассами импликативных решёток впервые отмечены Скулемом в 1919 году[1]; широкое применение получили после того, как Гейтинг в 1930 году предложил их как модель интуиционистского исчисления высказываний (так же, как булева алгебра является моделью классического исчисления высказываний). С точки зрения логики высказываний, относительное псевдодополнение в решётке Гейтинга — слабейшее высказывание, для которого имеет правило вывода modus ponens, то есть .
Как и во всякой импликативной решётке в алгебре Гейтинга однозначно вводятся наибольший элемент:
- ,
и унарная операция абсолютного псевдодополнения:
- .
Булева алгебра — алгебра Гейтинга, в которой абсолютное псевдодополнение является абсолютным дополнением: (исключённое третье) или, что эквивалентно, (двойное отрицание).
Класс алгебр Гейтинга может быть задан как многообразие алгебраических систем типа (с сигнатурой ) конечным числом тождеств.
Пример алгебры Гейтинга — единичный отрезок с и и относительным псевдодополнением, определяемым следующим образом: , если и в ином случае.
Внутренняя логика элементарного топоса основана на гейтинговой алгебре подобъектов терминального объекта , упорядоченных по включению (или, эквивалентно, алгебре морфизмов из в классификатор подобъектов).
Топология — семейство открытых множеств топологического пространства — образует полную алгебру Гейтинга относительно пересечения, объединения и включения; в связи с этим полные алгебры Гейтинга играют ключевую роль в бесточечной топологии[англ.].
Свойства
В алгебрах Гейтинга выполняется свойство бесконечной дистрибутивности:
- ,
где — подмножество носителя алгебры, имеющее нижнюю грань. Если дистрибутивная решётка полна (то есть нижняя грань существует), то из выполнения свойства бесконечной дистрибутивности следует, что она является алгеброй Гейтинга. Каждая конечная дистрибутивная решётка полна, таким образом, является алгеброй Гейтинга.
В алгебрах Гейтинга действует закон тройного отрицания: . Элемент, для которого снимается двойное отрицание () называется регулярным; соответственно, алгебра Гейтинга, все элементы которой регулярны — булева.
В гейтинговых алгебрах имеет место один закон де Моргана:
- ,
вместо второго закона де Моргана выполняется более слабое соотношение:
- .
Алгебра Гейтинга, в которой выполняются оба закона де Моргана, моделирует логику Янкова — логику из класса промежуточных логик[англ.].
Примечания
- ↑ Thoralf Skolem, Jens Erik Fenstad. Selected works in logic. — Oslo: Universitetsforlaget, 1970. — 732 p. — ISBN 9788200061274.
Литература
- Псевдобулева алгебра — статья из Математической энциклопедии. Гришин В. Н.
- Драгалин А. Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств. — М.: Наука, 1979. — 256 с. — (Математическая логика и основания математики).
- Плиско В. Е., Хаханян В. Х. Интуиционистская логика. — М.: Мехмат МГУ, 2009. — 159 с.
- Расёва Е., Сикорский Р. IV. Псевдобулевы алгебры // Математика метаматематики. — М.: Наука, 1972. — С. 147—170.