Кольцо (математика)

В абстрактной алгебре, кольцо́ — естественное обобщение целых чисел. Чуть точнее, это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел.

Определения

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

1. $\forall a,b\in R\left(a+b=b+a\right)$ — коммутативность сложения;
2. $\forall a,b,c\in R\left(a+(b+c)=(a+b)+c\right)$ — ассоциативность сложения;
3. $\exists 0\in R\;\forall a\in R\left(a+0=0+a=a\right)$ — существование нейтрального элемента относительно сложения;
4. $\forall a\in R\;\exists b\in R\left(a+b=b+a=0\right)$ — существование обратного элемента относительно сложения;
5. $\forall a,b,c\in R\;(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$ — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы)
6. $\forall a,b,c\in R\left\{{\begin{matrix}a\times (b+c)=a\times b+a\times c\\(b+c)\times a=b\times a+c\times a\end{matrix}}\right.$ — дистрибутивность.

Иными словами, кольцо — это алгебра $\left(R,+,\times \right)$, такая что алгебра $\left(R,+\right)$ — абелева группа, алгебра $\left(R,\times \right)$ — полугруппа и операция $+$ дистрибутивна относительно $\times$.

Кольца могут обладать следующими свойствами:

• наличие единицы: $\exists e\in R\;\forall a\in R\left(a\times e=e\times a=a\right)$ (кольцо с единицей);
• коммутативность умножения: $\forall a,b\in R\left(a\times b=b\times a\right)$ (коммутативное кольцо);
• отсутствие делителей нуля: $\forall a,b\in R\left(a\times b=0\Rightarrow a=0\lor b=0\right)$.

Обычно под кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей.

Кольца, для которых выполнены все вышеперечисленные условия, называются целостными (иногда также областями целостности или просто областями, хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).

Связанные определения

• Непустое подмножество $A\subset R$ назывется подкольцом $R$, если $A$ само является кольцом относительно операций, определенных в $R$.
• Ассоциативное кольцо с единицей $1\neq 0$, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.
• Коммутативное тело называется полем.

Простейшие свойства

Пусть $R$ — кольцо, тогда выполнены следующие свойства:

1. $\forall a\in R\left(a\times 0=0\right);$
2. $\forall a,b\in R\left(a\times \left(-b\right)=\left(-a\right)\times b=-\left(a\times b\right)\right);$
3. $\forall a,b,c\in R\left(\left(a-b\right)\times c=a\times c-b\times c\right);$
4. $\forall a,b,c\in R\left(c\times \left(a-b\right)=c\times a-c\times b\right).$

Примеры

• $\mathbb {Z}$ — целые числа (с обычным сложением и умножением).
• $\mathbb {Z} _{n}$ — кольцо вычетов по модулю натурального числа n.
• $\mathbb {Q}$ — кольцо рациональных чисел, являющееся полем.
• $\mathbb {R}$ — кольцо вещественных чисел, являющееся полем.
• $\mathbb {R} [x_{1},x_{2},...,x_{n}]$ — кольцо многочленов от n переменных над полем $\mathbb {R}$.
• Кольцо алгебраических целых чисел.
• $\mathbb {Z} [i]$ — кольцо гауссовых целых чисел.
• Кольцо когомологий.

См. также

• Алгебра над кольцом
• Бимодуль над кольцом
• Идеал
• Модуль над кольцом

• Артиново кольцо
• Дистрибутивное кольцо
• Евклидово кольцо
• Кольцо Безу
• Кольцо главных идеалов
• Локальное кольцо
• Нётерово кольцо
• Первичное кольцо
• Полулокальное кольцо
• Полупервичное кольцо
• Полупростое кольцо
• Полуцепное кольцо
• Простое кольцо
• Ассоциативное кольцо
• Кольца близкие к ассоциативным
• Цепное кольцо

• Дифференциальное кольцо

• Алгебраическая система

Ссылки

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7.
• Бельский А., Садовский Л. Кольца. Квант № 2, 1974.
• Кольцо алгебраическое в Большой советской энциклопедии.