Доказательство иррациональности e

Число e открыл Якоб Бернулли в 1683 году. Более чем полвека спустя Эйлер, который был учеником младшего брата Якоба Иоганна, доказал, что е иррационально, то есть не может быть выражено в виде отношения двух целых чисел.

Доказательство Эйлера

Эйлер впервые доказал иррациональность е в 1737 году, само доказательство было опубликовано семь лет спустя. Он нашел представление е в виде цепной дроби

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\ldots ,2n,1,1,\ldots ].$

Поскольку эта цепная дробь бесконечна, а цепная дробь рациональных чисел конечна, то e иррационально. Были найдены краткие доказательства равенства выше. Поскольку цепная дробь e не периодическая, это доказывает, что e не может быть корнем квадратичного многочлена с рациональными коэффициентами, откуда следует, что e² также иррационально.

Доказательство Фурье

Самым известным доказательством является доказательство Фурье, которое построено от противного и основано на представлении e бесконечным рядом

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\cdot$

Предположим, что e — рациональное число вида a/b, где a — целое, а b — натуральное. Число b не может быть равно 1, поскольку e не целое. Из бесконечного ряда выше можно показать, что e находится строго между 2 и 3:

$2=1+{\tfrac {1}{1!}}<e=1+{\tfrac {1}{1!}}+{\tfrac {1}{2!}}+{\tfrac {1}{3!}}+\cdots <1+\left(1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{3}}}+\cdots \right)=3.$

Определим число

$x=b!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right).$

Покажем, что x является целым числом. Для этого подставим e =a/b в это равенство

$x=b!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}.$

Первое слагаемое является целым числом, и каждая дробь в сумме также целое число, поскольку n ≤ b для каждого числа под знаком суммы. Следовательно, x — целое число.

Теперь докажем, что 0 < x < 1. Чтобы доказать, что x > 0, подставим представление e в виде ряда в определение x

$x=b!\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0,$

так как все слагаемые в сумме строго положительные.

Теперь докажем, что x < 1. Для всех членов с n ≥ b + 1 справедлива оценка сверху

${\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}}\leq {\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}.$

Это неравенство строгое для любого n ≥ b + 2. Изменив индекс суммирования на k = n – b и используя формулу для бесконечного геометрического ряда, получим

$x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}<\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}\right)={\frac {1}{b}}<1.$

Поскольку не существует целого числа x строго между 0 и 1, мы пришли к противоречию, следовательно e должно быть иррациональным. Q. E. D.

Другие доказательства

Из доказательство Фурье можно получить другое доказательство, заметив, что

$(b+1)x=1+{\frac {1}{b+2}}+{\frac {1}{(b+2)(b+3)}}+\cdots <1+{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+\cdots =1+x,$

что равносильно утверждению, что bx < 1. Конечно, это невозможно, поскольку b и x — натуральные числа.

Еще одно доказательство можно получить из равенства

${\frac {1}{e}}=e^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\cdot$

Определим $s_{n}$ как:

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.$

Тогда

$e^{-1}-s_{2n-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}-\sum _{k=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}<{\frac {1}{(2n)!}},$

откуда следует

$0<(2n-1)!\left(e^{-1}-s_{2n-1}\right)<{\frac {1}{2n}}\leq {\frac {1}{2}}$

для любого целого $n\geq 2.$

Заметим, что $(2n-1)!s_{2n-1}$ всегда целое число. Предположим, что $e^{-1}$ рациональное вида $e^{-1}={\tfrac {p}{q}}$, где $p,q$ взаимно простые числа и $q\neq 0.$ Можно так подобрать $n$, что $(2n-1)!e^{-1}$ будет целым числом, например, взяв $n\geq {\tfrac {q+1}{2}}.$ Для такого $n$ разность между $(2n-1)!e^{-1}$ и $(2n-1)!s_{2n-1}$ будет целым числом. Но ввиду неравенства выше это целое число должно быть менее 1/2, что невозможно. Получено противоречие, следовательно $e^{-1}$ иррационально, а значит $e$ иррационально тоже.

Обобщения

В 1840 году Лиувилль опубликовал доказательство иррациональности e², следовавшее из доказательства того, что e² не может быть корнем многочлена второй степени с рациональными коэффициентами. Отсюда следует, что e⁴ также иррационально. Доказательство Лиувилля аналогично доказательству Фурье. В 1891 году Гурвиц, используя схожие идеи, нашел, что е не может быть корнем многочлена третьей степени с рациональными коэффициентами, и, в частности, что e³ иррационально.

Более общо, e^q иррационально для любого ненулевого рационального q.

См. также

• Характеристики экспоненциальной функции
• Трансцендентное число
• Теорема Линдеманна — Вейерштрасса