Асимптотическая кривая

Асимптотическая кривая — кривая $\gamma$ на регулярной поверхности $F$, нормальная кривизна которой вдоль $\gamma$ равна нулю. Асимптотическая кривая определяется дифференциальным уравнением:

$II_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=0$

где $II$ — вторая фундаментальная форма поверхности.

Свойства

• Соприкасающаяся плоскость асимптотической кривой $\gamma$ (там, где она

существует) совпадает с касательной плоскостью к F в той же точке.

• Квадрат кручения асимптотической кривой (там, где оно определено) равен модулю гауссовой кривизны поверхности $F$ (теорема Бельтрами—Эннепера).
• Прямолинейный отрезок на $F$ всегда является асимптотической кривой.
• Параболическая кривая всегда является асимптотической кривой. Например,
  • параллель тора, разделяющаяобласти с гауссовой кривизной разных знаков
  • ребро возврата на псевдосфере.
• Через каждую точку параболической области (где $K=0$, но $H\not =0$) проходит единственная асимптотическая кривая, совпадающая с прямолинейной образующей.
• Через каждую точку гиперболической области (где $K<0$) проходят две и только две асимптотические кривые, составляющие так называемую асимптотическую сеть.
  • На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотическая сеть является чебышёвской сетью, причем площадь четырехугольника, образованного асимптотическими кривыми, пропорциональна избытку суммы его внутренних углов над $2\pi$ (формула Хаццидакиса).
• При проективном преобразовании $\pi$ пространства асимптотическиe кривыe поверхности $F$ переходят в асимптотическиe кривыe преобразованной поверхности $\pi (F)$.