Однородная функция

Однородная функция степени $q$ — числовая функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ такая, что для любого $v\in \mathbb {R} ^{n}$ и $\lambda \in \mathbb {R}$ выполняется равенство:

$f(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{q}f(\mathbf {v} )\qquad \qquad (*)$

причём $q$ называют порядком однородности.

Различают также

• положительно однородные функции, для которых равенство $(*)$ выполняется только для положительных $\lambda$ ($\lambda >0$)
• абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
      $f(\lambda \mathbf {v} )=|\lambda |^{q}f(\mathbf {v} )$

Свойства

1. Если функция $f$ является многочленом от $n$ переменных то она будет однородной функцией степени $q$ в том и только в том случае, когда $f$ — однородный многочлен степени $q$, в частности в этом случае $q$ должно быть целым.
2. Однородная функция в нуле равна нулю, если она там определена:
       $f(\mathbf {0} )=0\qquad \qquad$
3. Лемма Эйлера. Однородные функции пропорциональны скалярному произведению своего градиента на вектор своих переменных с коэффициентом равным порядку однородности:
       $\mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {v} )=qf(\mathbf {v} ).$
   Доказывается дифференцированием равенства (*) по $\lambda$ при $\lambda =1$.

См. также

• Однородное уравнение