Интеграл Римана

Геометрический смысл интеграла Римана

Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Неформальное геометрическое описание

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Определения

Через интегральные суммы

Пусть на отрезке $[a,b]$ определена вещественнозначная функция $f$.

Рассмотрим разбиение отрезка $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b$ — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок $[a,b]$ на n отрезков $[x_{i-1},x_{i}],\;i=1\dots n$. Длина наибольшего из отрезков $d=\max(\Delta x_{i})$, где $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$, называется диаметром разбиения.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке $\xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$. Интегральной суммой называется выражение $\sigma _{x}=\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}$.

Если при стремлении диаметра разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора $\xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$, то это число называется интегралом функции $f$ на отрезке $[a,b]$, т.е. $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{d\to 0}\sigma _{x}$

В этом случае, сама функция $f$ называется интегрируемой (по Риману) на $[a,b]$; в противном случае $f$ является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке $[a,b]$.

Через суммы Дарбу

Суммы Дарбу для разбиения на четыре интервала: нижняя (площадь зелёного) и верхняя (площадь зелёного и серого)

Пусть на отрезке $[a,b]$ определена вещественнозначная функция $f$. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка $\Delta :a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b$.

Верхней суммой Дарбу для разбиения $\Delta$ называется число

${\overline {S}}_{\Delta }=\sum \limits _{i=1}^{n}{\sup _{[x_{i-1},x_{i}]}f(x)\Delta x_{i}}$

Соответственно, нижней суммой Дарбу для разбиения $\Delta$ называется

${\underline {S}}_{\Delta }=\sum \limits _{i=1}^{n}{\inf _{[x_{i-1},x_{i}]}f(x)\Delta x_{i}}$

Функция называется интегрируемой по Риману, если существует вещественное число

$I=\sup _{\Delta }{\underline {S}}_{\Delta }=\inf _{\Delta }{\overline {S}}_{\Delta }$

В этом случае, по определению

$\int \limits _{a}^{b}{f(x)\,dx}=I.$

Свойства

• Если функция $F$ является первообразной функции $f$, то интеграл функции $f$ на отрезке $[a,b]$ может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен $F(b)-F(a)$.
• Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману. Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле.
• Ограничение: Если функция $f$ интегрируема на отрезке $[a,b]$, то она интегрируема и на меньшем отрезке $[a_{1},b_{1}]$, где $a\leq a_{1}<b_{1}\leq b$.
• Если функция интегрируема на отрезке $[a,b]$ и на отрезке $[b,c]$, то она интегрируема и на отрезке $[a,c]$, и $\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx$.
• Линейность: Если функции $f$ и $g$ интегрируемы, и $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$, то функция $\alpha f+\beta g$ тоже интегрируема, и

$\int \limits _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

• Предел: Если интегрируемые функции $f_{i}$ равномерно сходятся на отрезке $[a,b]$ к функции $f$, то $f$ интегрируема, и

$\lim _{i\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f_{i}(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

История

Такое определение интеграла дано Коши, но применялось только для непрерывных функций.

Риман в 1854 году, дал это же определение без предположения непрерывности.

См. также

• Интеграл Лебега
• Интеграл Даниэля
• Кратный интеграл Римана
• Несобственный интеграл
• Список интегралов

Ссылки

• Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.