Определитель

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А|, ||A|| или Δ(A).

Определение через разложение по первой строке

Схема расчета определителя матрицы $2\times 2$ .

Для матрицы порядка 1 детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}}=a_{11}$

Для матрицы $2\times 2$ детерминант определяется как

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Для матрицы $n\times n$ определитель задаётся рекурсивно:

$\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}$,    где ${\bar {M}}_{j}^{1}$ — дополнительный минор к элементу $a_{1j}$. Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы $3\times 3$ такова:

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}=$

$=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}$

Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):

$\Delta =\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}$

Доказательство

Пусть ${\tilde {\Delta }}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}$.

Докажем, что ${\tilde {\Delta }}=\Delta$ по индукции. Видно, что для матрицы $2\times 2$ это верно:

${\tilde {\Delta _{2}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=\Delta _{2}$

Предполжим, что для матрицы порядка n−1 ${\tilde {\Delta }}_{n-1}=\Delta _{n-1}$ — верно.

${\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\sum _{j=2}^{n}(-1)^{j}a_{1j}{\bar {M}}_{1j}^{i1}=$

$=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=2}^{n}(-1)^{i+j+1}a_{i1}a_{1j}{\bar {M}}_{1j}^{i1}$

${\Delta _{n}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i}a_{i1}{\bar {M}}_{j1}^{1i}=$

$=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i+j+1}a_{1j}a_{i1}{\bar {M}}_{j1}^{1i}={\tilde {\Delta _{n}}}$ ■

Также справедливо и аналогичное разложение по любой строке (столбцу):

$\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}$

Доказательство

Пусть ${\tilde {\Delta }}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}$.

Докажем, что ${\tilde {\Delta }}=\Delta$ по индукции. Видно, что для матрицы $2\times 2$ это верно:

${\tilde {\Delta _{2}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}=-a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11}=\Delta _{2}$

Предположим, что для матрицы порядка n−1 ${\tilde {\Delta }}_{n-1}=\Delta _{n-1}$ — верно.

${\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\left(\sum _{k<j}(-1)^{1+k}a_{1k}{\bar {M}}_{jk}^{i1}+\sum _{k>j}(-1)^{k}a_{1k}{\bar {M}}_{jk}^{i1}\right)$

Соберём коэффициенты при ${\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}$:

$j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{i+j_{0}}a_{ij_{0}}(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}+(-1)^{i+k_{0}}a_{ik_{0}}(-1)^{j_{0}}a_{1j_{0}}=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}(a_{ij_{0}}a_{1k_{0}}-a_{ik_{0}}a_{1j_{0}})=$

$=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}$

$j_{0}<k_{0}\colon \;(-1)^{i+j_{0}}a_{ij_{0}}(-1)^{k_{0}}a_{1k_{0}}+(-1)^{i+k_{0}}a_{ik_{0}}(-1)^{j_{0}+1}a_{1j_{0}}=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}(a_{ik_{0}}a_{1j_{0}}-a_{ij_{0}}a_{1k_{0}})=$

$=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}$

${\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M}}_{jk}^{1i}$

$\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\left(\sum _{k<j}(-1)^{i+k-1}a_{ik}{\bar {M}}_{jk}^{1i}+\sum _{k>j}(-1)^{i+k-2}a_{ik}{\bar {M}}_{jk}^{1i}\right)$

Соберём коэффициенты при ${\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}$:

$j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{1+j_{0}}a_{1j_{0}}(-1)^{i+k_{0}-1}a_{ik_{0}}+(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}(-1)^{i+j_{0}-2}a_{ij_{0}}=(-1)^{j_{0}+i+k_{0}}(a_{1j_{0}}a_{ik_{0}}-a_{1k_{0}}a_{ij_{0}})=$

$=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}$

$j_{0}<k_{0}\colon \;(-1)^{1+j_{0}}a_{1j_{0}}(-1)^{i+k_{0}-2}a_{ik_{0}}+(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}(-1)^{i+j_{0}-1}a_{ij_{0}}=(-1)^{k_{0}+i+j_{0}}(a_{1k_{0}}a_{ij_{0}}-a_{1j_{0}}a_{ik_{0}})=$

$=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}$

${\Delta _{n}}=\sum _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M}}_{jk}^{1i}={\tilde {\Delta _{n}}}$ ■

Обобщением вышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу (Теорема Лапласа), дающее возможность вычислять определитель по любым k строкам (столбцам):

$\Delta =\sum _{1\leqslant j_{1}<\ldots <j_{k}\leqslant n}(-1)^{i_{1}+...+i_{k}+j_{1}+...+j_{k}}M_{j_{1}...j_{k}}^{i_{1}...i_{k}}{\bar {M}}_{j_{1}...j_{k}}^{i_{1}...i_{k}}$

Определение через перестановки

Для матрицы $n\times n$ справедлива форумула:

$\Delta =\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n}}(-1)^{N(\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}\cdot a_{\alpha _{1}1}\cdot ...\cdot a_{\alpha _{n}n}$,

где $\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n}$ — перестановка порядка $n$, $N(\alpha _{1},\alpha _{2}...\alpha _{n})$ — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка $n$. Таким образом, в определитель войдёт n! слагаемых, которые также называют "членами определителя". Важно заметить, что во многих курсах линейной алгебры это определение даётся как основное.

Свойства определителей

• Детерминант — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): $\Delta ({\hat {A}}_{1},\ldots ,\alpha {\hat {A}}_{i}+\beta {\hat {A'}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})=\alpha \Delta ({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})+\beta \Delta ({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A'}}_{i},\ldots ,A_{n})$ , где ${\hat {A}}_{1}$ и т. д. — строчки матрицы, $\Delta (A_{1},\ldots ,A_{i},\ldots ,A_{n})$ — определитель такой матрицы.
• При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
• Если две строки матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
• Если хотя бы одна строка нулевая, то определитель равен нулю.

• Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
• Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

• Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

Специальные виды определителей

• Определитель Вронского (Вронскиан)
• Определитель Вандермонда
• Определитель Грама
• Определитель Якоби (Якобиан)

См. также

• LU-разложение
• Пфаффиан

Литература

• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
• Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000.

Ссылки

• Расчет определителя матрицы онлайн
• Пошаговое вычисление определителя матрицы в режиме онлайн