Ранг матрицы

Пусть задана любая матрица А с m строк и n столбцов. Рангом системы строк (столбцов) матрицы А называется максимальное число линейно независимых строк(столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно-независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов и это число называется рангом матрицы. Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк (или столбцов) матрицы.

Обычно ранг матрицы $A$ обозначается $\operatorname {rang} A$ ($\operatorname {rg} A$) или $\operatorname {rank} A$. Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.

Определение

Пусть $A_{m\times n}$ — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы $A$ является:

• нуль, если $A$ — нулевая матрица;
• число $r\in \mathbb {N} :\;\exists M_{r}\neq 0,\;\forall M_{r+1}=0$, где $M_{r}$ — минор матрицы $A$ порядка $r$, а $M_{r+1}$ — окаймляющий к нему минор порядка $(r+1)$, если они существуют.

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы $A_{m\times n}$ порядка $k$ равны нулю ($M_{k}=0$). Тогда $\forall M_{k+1}=0$, если они существуют. Шаблон:/рамка Связанные определения Ранг $\operatorname {rang} M$ матрицы $M$ размера $m\times n$ называют полным, если $\operatorname {rang} M=\min\{m,n\}$. Базисный минор матрицы $A$ — любой минор матрицы $A$ порядка $r$, где $r=\operatorname {rang} A$. Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.) Пример Матрица ${\begin{pmatrix}0&2&-2&4\\2&3&-4&6\\-4&0&2&0\\2&5&-6&10\end{pmatrix}}$ имеет ранг 2, так как есть минор второго порядка, отличный от нуля, а миноров третьего порядка нет. Свойства Теорема (о базисном миноре): Пусть $r=\operatorname {rang} A,M_{r}$ — базисный минор матрицы $A$, тогда: базисные строки и базисные столбцы линейно независимы; любая строка (столбец) матрицы $A$ есть линейная комбинация базисных строк (столбцов). Следствия: Если ранг матрицы равен $r$, то любые $p\colon p>r$ строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы. Если $A$ — квадратная матрица, и $\det A=0\iff$ строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы. Пусть $r=\operatorname {rang} A$, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно $r$. Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение $A\sim B$ для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если $A\sim B$, то их ранги равны Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности: Количество главных переменных системы равно рангу системы. Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных. См. также Ссылки Расчет ранга матрицы онлайн с подробным решением, которое отсылается на email Расчет ранга матрицы онлайн Здесь можно вычислить ранг матрицы (с подробным отображением хода вычисления) Пошаговый расчет ранга матрицы в режиме онлайн