Эрмитово сопряжённая матрица

Сопряжённо-транcпони́рованная ма́трица или эрми́тово-сопряжённая ма́трица — это матрица $A^{+}*$ с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы $A$ транспонированием и заменой каждого элемента комплексно-сопряжённым числом.

Сопряжённо-траспонированные матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае действительных пространств.

Определение и обозначения

Если исходная матрица $A$ имеет размер $m\times n$, то комплексно-сопряжённая к $A$ матрица $A^{*}$ будет иметь размер $n\times m$, а её $(i,j)$-й элемент будет равен:

$\left(A^{*}\right)_{ij}={\overline {A_{ji}}},$

где ${\overline {x}}$ — комплексно-сопряжённое число к $x$ (сопряжённое число к $a+bi$ есть $a-bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа).

Сопряжённо-транспонированную матрицу обычно обозначают как $A^{*}$ или $A^{H}$ (H от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда используются и другие обозначения:

• $A^{\dagger }$ — в квантовой механике;
• $A^{+}$ (но это обозначение может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы);
• ${\overline {A}}^{T}$.

Пример

Если

$A={\begin{bmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{bmatrix}}$

тогда

$A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{bmatrix}}.$

Связные определения

Если матрица $A$ состоит из действительных чисел, то комплексно-сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица:

$A^{*}=A^{T},$ если $A_{ij}\in \mathbb {R} .$

Квадратная матрица $A$ называется:

• эрмитовой, если $A^{*}=A$;
• косоэрмитовой, если $A^{*}=-A$;
• нормальной, если $A^{*}A=AA^{*}$;
• унитарной, если $A^{*}A=AA^{*}=I$;

Свойства

• $(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$ для любых двух матриц $A$ и $B$ одинаковых размеров.
• $(cA)^{*}={\overline {c}}A^{*}$ для любого комплексного скаляра $c\in \mathbb {C}$.
• $(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$ для любых матриц $A$ и $B$, таких, что определено их произведение $AB$. Обратите внимание, что в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный.
• $(A^{*})^{*}=A$ для любой матрицы $A$.
• Собственные значения, определителя и следа меняются на сопряжённые у сопряжённо-транспонированной матрицы, по сравнению с исходной.
• $A$ обратима если и только если обратима матрица $A^{*}$, и при этом:

  $\!(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}$

• $\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle$ для любой матрицы $A$ размера $m\times n$ и любых векторов $x\in \mathbb {C} ^{n}$ и $y\in \mathbb {C} ^{m}$. Обозначение $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.
• Матрицы $AA^{*}$ и $A^{*}A$ являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы $A$ (необязательно квадратной). Если $A$ квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будет положительно-определёнными.

См. также

• Сопряжённый оператор — обобщение понятия комплексно-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.