Билинейная форма

Билинейной формой (также: функционалом, функцией) называется функция $F\colon L\times L\to \mathbb {R}$ или $F\colon L\times L\to \mathbb {C}$

(где $L$ — произвольное линейное пространство, обычно соответственно над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$),

линейная по каждому из аргументов:

$~F(x+z,y)=F(x,y)+F(z,y)$,

$~F(x,y+z)=F(x,y)+F(x,z)$,

$~F(\lambda x,y)=\lambda F(x,y)$,

$~F(x,\lambda y)=\lambda F(x,y)$.

• Билинейная форма(функционал) $~S$ называется симметричной, если для любых $x,y\in L$ выполнено $~S(x,y)=S(y,x)$,
• билинейная форма(функционал) $~A$ называется кососимметричной (антисимметричной), если для любых $x,y\in L$ выполнено $~A(x,y)=-A(y,x)$

Множество всех билинейных форм, заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.

Свойства

• Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
• При выбранном базисе $e_{1},\ldots ,e_{n}$ в $L$ любая билинейная форма $~A$ однозначно определяется матрицей

${\begin{pmatrix}A(e_{1},e_{1})&A(e_{1},e_{2})&\ldots &A(e_{1},e_{n})\\A(e_{2},e_{1})&A(e_{2},e_{2})&\ldots &A(e_{2},e_{n})\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\A(e_{n},e_{1})&A(e_{n},e_{2})&\ldots &A(e_{n},e_{n})\end{pmatrix}}$

так что для любых $x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+\cdots +x^{n}e_{n}$ и $y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+\cdots +y^{n}e_{n}$

$A(x,y)={\begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&\ldots &x^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A(e_{1},e_{1})&A(e_{1},e_{2})&\ldots &A(e_{1},e_{n})\\A(e_{2},e_{1})&A(e_{2},e_{2})&\ldots &A(e_{2},e_{n})\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\A(e_{n},e_{1})&A(e_{n},e_{2})&\ldots &A(e_{n},e_{n})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y^{1}\\y^{2}\\\vdots \\y^{n}\end{pmatrix}}$

то есть

$~A(x,y)=\sum _{i,j=1}^{n}x^{i}A_{ij}\,y^{j}$

Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.

Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, естественно, просто связана с матрицей, представляющей ее в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе $~X^{i}$ выражаются через координаты в новом $~x^{i}$ через матрицу $~\beta$ ($~X^{i}=\sum \beta _{j}^{i}x^{j}$ или в матричной записи $~X=\beta x$), то естественно, билинейная форма $~F$ на любых векторах $~x$ и $~y$ запишется, как

$F(x,y)=\sum _{i,j}F_{ij}X^{i}Y^{j}=\sum _{i,j,k,m}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}x^{k}y^{m}$

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе будут:

$f_{km}=\sum _{i,j}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}$

или в матричной записи:

$~f=\beta ^{T}F\beta$

(естественно,

$~\beta =\alpha ^{-1}$,

где $~\alpha$ - матрица прямого преобразования координат $~x=\alpha X$).

См. также

• Квадратичная форма
• Билинейная операция
• Билинейное преобразование