Уравнение Фоккера — Планка

Уравнение Фоккера Планка названо в честь Адриана Фоккера и Макса Планка, также известно как прямое уравнение Колмогорова, описывает временную эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц, и может быть обобщено на другие измеримые параметры (размер (в теории коалесценции), масса и т.д).

Впервые уравнение было использовано для статистического описания Броуновского движения частиц в воде.

Броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены для разных сил стохастической природы с усреднением по каноническому ансамблю численным методом Монте-Карло.

Однако, вместо сложных вычислений можно использовать уравнения Фоккера-Планка и и рассмотреть функцию плотности вероятности $W(\mathbf {v} ,t)$, для частицы иметь скорость в интервале $(\mathbf {v} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} )$, когда она имеет начальную скорость $\mathbf {v} _{0}$ в момент времени 0.

Общая форма уравнения Фоккера-Планка для N переменных:

${\frac {\partial W}{\partial t}}=\left[-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}D_{i}^{1}(x_{1},\ldots ,x_{N})+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}D_{ij}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{N})\right]W,$

где $D^{1}$ вектор сноса и $D^{2}$ тензор диффузии , причем диффузия вызвана действием сил стохастической природы.