Пи (число)

$\pi$ (произносится «пи») — буква греческого алфавита.

Число $\pi$ вводится в геометрии как отношение длины окружности к длине её диаметра, однако оно появляется затем в совершенно разных, часто далёких от геометрии, областях математики. Число $\pi$ иррационально и трансцедентно.

Оценки

$\pi$ приблизительно равно 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592…

Оценки в виде десятичных дробей: 22/7 (Архимед), 355/113 (оценка древнекитайских математиков)

Известно много других представлений числа $\pi$:

• Франсуа Виет, 1593:

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots$

• Ряд Лейбница:

${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

• Тождество Эйлера:

$e^{\pi i}+1=0\;$

и т. д.

Способы вычисления

Файл:ArchimedesPi.png

Архимед, возможно, первым предложил способ вычисления $\pi$ математическим способом. Для этого от вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как оценку снизу длины окружности, а периметр описанного многоугольника как оценку сверху. Так, для шестиугольника (см. рисунок) получается $3<\pi <2{\sqrt {3}}$.

Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку $3{\frac {1}{7}}<\pi <3{\frac {10}{71}}$.

Лудольф ван Цейлен (1536-1610) затратил десять лет на вычисление числа $\pi$ с 20 десятичными знаками. Применив метод Архимеда он довел удвоение до n-угольника, где n=60 * 2^29. Изложив свои результаты в сочинении "Об окружности" ("Van den Cirkel"), Лудольф закончил его словами: "У кого есть охота, пусть идет дальше". В честь него число $\pi$ иногда называли "лудольфовым числом".

В новое время для вычисления $\pi$ используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для выичслительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

Первую эффективную формулу нашёл в 1706 Джон Мэчин (John Machin):

${\frac {\pi }{4}}=4\mathrm {arctg} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} {\frac {1}{239}}$

Разложив арктангенс в ряд Тейлора, можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа $\pi$ с большой точностью.

Ещё быстрее работают алгоритмы, основанные на формулах Рамануджана

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

и Чудновского

${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}$

В 1995 David H. Bailey, Peter Borwein и Simon Plouffe [1] открыли способ быстрого вычисления произвольной двоичной цифры числа $\pi$ без вычисления предыдущих цифр, основанный на формуле

$\pi =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{i}}}\left({\frac {4}{8i+1}}-{\frac {2}{8i+4}}-{\frac {1}{8i+5}}-{\frac {1}{8i+6}}\right)$

Трансцендентность и иррациональность числа

В 1882г. прорфессору Кенигсбергского, позже Мюнхенского университетов Фердининду Линдеману удалось доказать трансцендентность числа $\pi$. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894г. Его доказательство приложено к работе "Вопросы элементарной и высшей математики" ч.1 вышедшей в Геттингене в 1908г.

Поскольку в геометрии Евклида плошадь круга и длина окружности являются функциями числа $\pi$, то доказательство трансцендентности $\pi$ положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2.5 тысячи лет.

Мнемонические способы для запоминания

Первые знаки числа $\pi$, перечисленные в стихотворной форме:

Чтоб запомнить цифры эти
Нужно правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать
Девяноста два и шесть

или

Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать
Девяноста два и шесть

Мнемонические тексты, содержащие приблизительное значение $\,\!\pi$. Для его получения нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах стишка и поставить запятую после первого знака.

Это я знаю и помню прекрасно,
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.

Ещё один стишок, к сожалению устаревший из-за твёрдых знаков в конце слов.

Кто и шутя и скоро пожелаетъ пи узнать число — ужъ знаетъ.

Ссылки

• Квадратура круга

• Число $\pi$ с точностью в 100 тысяч знаков после запятой
• Зона ПИ на Арбузе