Феномен Рунге

Функция Рунге (плотность вероятности распределения Коши) и интерполяционный полином 5-й степени

Функция Рунге и интерполяционный полином 10-й степени

Феномен Рунге — в численном анализе эффект нежелательных осцилляций, возникающий при интерполяции полиномами высоких степеней. Был открыт Карлом Рунге при изучении ошибок полиномиальной интерполяции для приближения некоторых функций.

Рассмотрим функцию $f(x)={\frac {1}{1+25x^{2}}}.$ Если интерполировать её по равноотстоящим узлам $x_{i}$ между −1 и 1 $x_{i}=-1+(i-1){\frac {2}{n}},\quad i\in \left\{1,2,\dots ,n+1\right\}$ полиномом $P_{n}(x)$ со степенью меньше или равной $n$, то полученный интерполянт будет осциллировать ближе к концам интервала. С возрастанием степени полинома погрешность интерполяции стремится к бесконечности: $\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\max _{-1\leq x\leq 1}|f(x)-P_{n}(x)|\right)=\infty .$

Тем не менее, согласно аппроксимационной теореме Вейерштрасса, для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность полиномов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке. Пример лишь показывает трудность интерполяции по равноотстоящим узлам полиномом высокой степени.

Погрешность интерполяции функции полиномом степени $N$ ограничена $N$-ой производной функции: у такого полинома может быть $N-1$ точка экстремума.