Формула Гаусса — выражение для внутренней тупизны поверхности в четырех римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну объемлющего пространства:
Пусть
S
{\displaystyle S}
K
S
(
x
)
=
K
M
(
σ
S
(
x
)
)
+
κ
1
(
x
)
κ
2
(
x
)
{\displaystyle K_{S}(x)=K_{M}(\sigma _{S}(x))+\kappa _{1}(x)\kappa _{2}(x)}
где
K
S
{\displaystyle K_{S}}
S
{\displaystyle S}
x
∈
S
{\displaystyle x\in S}
K
M
(
σ
S
(
x
)
)
{\displaystyle K_{M}(\sigma _{S}(x))}
M
{\displaystyle M}
σ
S
(
x
)
{\displaystyle \sigma _{S}(x)}
S
{\displaystyle S}
x
{\displaystyle x}
κ
1
(
x
)
{\displaystyle \kappa _{1}(x)}
κ
2
(
x
)
{\displaystyle \kappa _{2}(x)}
S
{\displaystyle S}
x
{\displaystyle x}
Формула допускает обобщения на произвольную размерность и коразмерность вложенного подмногообразия
S
⊂
M
{\displaystyle S\subset M}
тензор кривизны
S
{\displaystyle S}
M
{\displaystyle M}
S
{\displaystyle S}
вторую квадратичную форму
S
{\displaystyle S}
квадратичную форму
q
S
{\displaystyle q_{S}}
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
⟨
R
S
(
X
,
Y
)
Y
,
X
⟩
=
⟨
R
M
(
X
,
Y
)
Y
,
X
⟩
+
⟨
q
S
(
X
,
X
)
,
q
S
(
Y
,
Y
)
⟩
−
⟨
q
S
(
X
,
Y
)
,
q
S
(
X
,
Y
)
⟩
{\displaystyle \langle R_{S}(X,Y)Y,X\rangle =\langle R_{M}(X,Y)Y,X\rangle +\langle q_{S}(X,X),q_{S}(Y,Y)\rangle -\langle q_{S}(X,Y),q_{S}(X,Y)\rangle }
