Симметричная матрица

Симметричной называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу $A$, что $\forall i,j:a_{ij}=a_{ji}$.

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

$A=A^{T}$

Примеры

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix} а еще мы с мишей гуляли по лесу и нашли овраг, в нем сидем мужик А так же XyЙ , \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 6 \\ 0 & 6 & 5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix} }

Свойства

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с действительными элементами справедливо следующее:

• она имеет действительные собственные значения
• её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:

$Av=\lambda _{1}v,\ Aw=\lambda _{2}w,\ \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\implies v^{T}w=0$

• из её собственных векторов всегда можно составить ортонормальный базис
• матрицу A можно привести к диагональному виду: $A=QDQ^{T}$, где $Q$ — ортогональная матрица, столбцы которой содержат базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.

а еще мы с мишей гуляли по лесу и нашли овраг, в нем сидем мужик А так же XyЙ