Энтропия динамической системы

В теории динамических систем, энтропия динамической системы — число, выражающее степень хаотичности её траекторий. Различают метрическую энтропию, описывающую хаотичность динамики в системе с инвариантной мерой для случайного выбора начального условия по этой мере, и топологическую энтропию, описывающую хаотичность динамики без предположения о законе выбора начальной точки.

При этом, вариационный принцип утверждает, что для непрерывной динамической системы на компактном множестве, топологическая энтропия равна супремуму метрических, взятому по всем возможным выборам инвариантных мер данной системы.

Определения

Метрическая энтропия

Пусть$(X,T,\mu )$ — сохраняющая меру измеримая динамическая система. По определению, энтропией разбиения $X=\bigcup _{j=1}^{n}\xi _{j}$ называется число

$H(\xi ):=\sum _{j=1}^{n}-\mu (\xi _{j})\log \mu (\xi _{j}),$

определяющее информационную энтропию определения элемента разбиения, содержащего $\mu$-случайную точку.

Итерационные измельчения разбиения $\xi$,

$\xi ^{(k)}=\left\{\xi _{i_{1}}\cap T^{-1}(\xi _{i_{2}})\cap \dots \cap T^{-k+1}(\xi _{i_{k}})\mid 1\leq i_{1},\dots ,i_{k}\leq n\right\}$

определяют, в каких элементах $\xi$ оказывается точка на протяжении k итераций, а, соответственно, величина

$h_{\mu }(T,\xi )=\lim {\frac {1}{k}}H(\xi ^{(k)})$

выражает информационную энтропию такого процесса. Наконец, метрическая энтропия отображения T по мере $\mu$ определяется как точная верхняя грань $h_{\mu }(\xi )$ по всевозможным разбиениям $\xi$:

$h_{\mu }(T):=\sup _{\xi }h_{\mu }(T,\xi ).$

Литература

• Каток А. Б., Хассельблат Б.. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.