Оператор набла

Опера́тор набла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом $\nabla$ (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Смысл этого оператора понятен из названия, применяется в диффурах для самообороны, напрмиер против Басова. Пример его использования : "НаБля, Басов. Получай)" К этому классу операторов так же относят операторы: "ойбляВотЭтоПример", "ухтыбляРешилНАконец" и др... Обычно за оператором "ойбляВотЭтоПример" следует применение другого оператора "НаБля"

Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах оператор набла определяется следующим образом:

$\nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec {k}}$,

где ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ - единичные векторы по осям x, y, z.

Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа (см. ниже). Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике (хотя иногда графический символ $\nabla$ используется также для обозначения некоторых других, хотя в некотором отношении не совсем далеких от рассмотренного, математических объектов, например, ковариантной производной).

Под n-мерным оператором набла подразумевается вектор с компонентами ${\partial \over \partial x_{1}},\;{\partial \over \partial x_{2}},\;\ldots ,\;{\partial \over \partial x_{n}}$ в n-мерном пространстве.

Иногда, особенно при начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку: ${\vec {\nabla }}$ - чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного $\nabla$.

• Иногда (особенно когда речь идет только о применении к скалярным функциям), оператор набла называют оператором градиента, каковым он в применении к скалярным функциям (полям) и является.

• Замечание: в физике в наше время название оператор Гамильтона по отношению к оператору набла стараются не употреблять, особенно в квантовой физике, во избежание путаницы с квантовым гамильтонианом, имеющим, в отличие от классического, операторную природу.

Свойства оператора набла

Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если умножить вектор $\nabla$ на скаляр $\phi$, то получится вектор

$\nabla \phi ={\partial \phi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \phi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \phi \over \partial z}{\vec {k}}$,

который представляет собой градиент функции $\phi$.

Если вектор $\nabla$ скалярно умножить на вектор ${\vec {a}}$, получится скаляр

$\nabla \cdot {\vec {a}}=\nabla _{x}a_{x}+\nabla _{y}a_{y}+\nabla _{z}a_{z}={\partial a_{x} \over \partial x}+{\partial a_{y} \over \partial y}+{\partial a_{z} \over \partial z}$,

то есть дивергенция вектора ${\vec {a}}$.

Если $\nabla$ умножить на ${\vec {a}}$ векторно, то получится ротор вектора ${\vec {a}}$:

$\nabla \times {\vec {a}}~=~(\partial _{y}a_{z}-\partial _{z}a_{y}){\vec {i}}~+~(\partial _{z}a_{x}-\partial _{x}a_{z}){\vec {j}}~+~(\partial _{x}a_{y}-\partial _{y}a_{x}){\vec {k}}$

• Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использоваными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо $\nabla \cdot {\vec {a}}$ нередко пишут $(\nabla ,{\vec {a}})$, а вместо $\nabla \times {\vec {a}}$ пишут $[\nabla ,{\vec {a}}]$; это касается и формул, приводимых ниже.

Соответственно, скалярное произведение $\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$ есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также $\ \Delta$. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

$\Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}$.

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

$\mathbf {\operatorname {grad} } (\phi \psi )=\mathbf {\nabla } (\phi \psi )=\psi \mathbf {\nabla } \phi +\phi \mathbf {\nabla } \psi =\psi \ \mathbf {\operatorname {grad} } \phi +\phi \ \mathbf {\operatorname {grad} } \psi$

$\operatorname {div} (\mathbf {\operatorname {grad} } \phi )=\nabla \cdot (\nabla \phi )=(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2}\phi =\Delta \phi$

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.

Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

$\nabla \cdot {\vec {v}}={\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}\cdot \nabla$

Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

Операторы второго порядка

Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:

${\mbox{div}}\,({\mbox{grad}}\,f)=\nabla \cdot (\nabla f)$

${\mbox{rot}}\,({\mbox{grad}}\,f)=\nabla \times (\nabla f)$

$\Delta f=\nabla ^{2}f$

${\mbox{grad}}\,({\mbox{div}}\,{\vec {v}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})$

${\mbox{div}}\,({\mbox{rot}}\,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})$

${\mbox{rot}}\,({\mbox{rot}}\,{\vec {v}})=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})$

$\Delta {\vec {v}}=\nabla ^{2}{\vec {v}}$

Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы. Два из них всегда равны нулю:

${\mbox{rot}}\,({\mbox{grad}}\,f)=\nabla \times (\nabla f)=(\nabla \times \nabla )f=0$

${\mbox{div}}\,({\mbox{rot}}\,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})=(\nabla \times \nabla )\cdot {\vec {v}}=0$

Два всегда совпадают:

${\mbox{div}}\,({\mbox{grad}}\,f)=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f=\nabla ^{2}f=\Delta f$

Три оставшихся связаны соотношением:

$(\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}}))=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla ^{2}{\vec {v}}$

Еще одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:

$\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})$

Отличия оператора набла от обычного вектора

Хотя большинство свойств оператора набла следуют из алгебраических свойств операторов и чисел и становятся вполне очевидными, если рассматривать его как вектор, нужно соблюдать осторожность. Оператор набла не принадлежит тому же пространству, что и обычные векторы, а говоря точнее, скалярное и векторное произведение для него определено с некоторыми отличиями (в основном сводящимися к тому, что - как это обычно подразумевается - оператор действует на те поля, что стоят от него справа, и не действует на стоящие от него слева, из-за чего скалярное и векторное произведение с участием $\nabla$ не коммутативны и не антикоммутативны, как это свойственно для таких произведений обычных векторов), таким образом, оператор набла не обладает некоторыми свойствами обычных векторов, и следовательно не во всём может вести себя в соответствии с геометрическими свойствами обычного вектора. В частности,

он не коммутирует с векторами:

$\nabla \cdot {\vec {v}}\neq {\vec {v}}\cdot \nabla$,

ведь $\nabla \cdot {\vec {v}}$ - это дивергенция, то есть в конечном итоге просто скалярная функция координат, а ${\vec {v}}\cdot \nabla$ представляет собой нетривиальный оператор дифференцирования по направлению векторного поля ${\vec {v}}$.

Если этого мало, то дополнительно убедиться в том, что они не совпадают, можно применив оба выражения к скалярной функции f, увидев:

$(\nabla \cdot \mathbf {v} )f\neq (\mathbf {v} \cdot \nabla )f$

так как

$(\nabla \cdot \mathbf {v} )f=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f$

$(\mathbf {v} \cdot \nabla )f=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}$

Если бы набла был вектором, то смешанное произведение $({\vec {v}},\ \nabla ,\ {\vec {v}})\equiv {\vec {v}}\cdot (\nabla \times {\vec {v}})$ было бы всегда равно нулю, однако несложно убедиться, что это неверно.

Кроме того, необходимо помнить, на какие векторы и функции действует каждый оператор набла в написанной формуле, например:

$(\nabla x)\times (\nabla y)=\left(\mathbf {i} {\frac {\partial x}{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial x}{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\times \left(\mathbf {i} {\frac {\partial y}{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial y}{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial y}{\partial z}}\right)=$

$=(\mathbf {i} \cdot 1+\mathbf {j} \cdot 0+\mathbf {k} \cdot 0)\times (\mathbf {i} \cdot 0+\mathbf {j} \cdot 1+\mathbf {k} \cdot 0)=\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k}$

(здесь первый оператор набла действует только на поле x, а второй - только на 'y', что как бы жестко фиксирует порядок действий). Тогда как для обычных векторов:

$(\mathbf {u} x)\times (\mathbf {u} y)=xy(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )=xy\mathbf {0} =\mathbf {0}$

поскольку здесь x и y легко выносятся.

Поэтому для удобства, при умножении оператора набла на сложное выражение, обычно дифференцируемое поле обозначают стрелочкой:

$(\nabla ;[{\vec {u}};{\vec {v}}])=(\nabla ;[{\stackrel {\downarrow }{\vec {u}}};{\vec {v}}])+(\nabla ;[{\vec {u}};{\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}])=({\vec {v}};[\nabla ;{\stackrel {\downarrow }{\vec {u}}}])-({\vec {u}};[\nabla ;{\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}])={\vec {v}}\cdot {\mbox{rot}}{\vec {u}}-{\vec {u}}\cdot {\mbox{rot}}{\vec {v}}$

Если оператор не действует на некоторое поле, то частные производные коммутируют во всех выражениях с компонентами этого поля, поэтому поле и оператор коммутируют (для векторного произведения — антикоммутируют) во всех выражениях и можно производить чисто алгебраические преобразования.

История

В 1853 году В. Р. Гамильтон ввёл этот оператор и придумал для него символ $\nabla$ в виде перевёрнутой греческой буквы Δ (дельта). Гамильтон назвал символ $\nabla$ словом "атлед" (слово "дельта", прочитанное наоборот), однако позднее английские учёные, в том числе О. Хевисайд, стали называть этот символ "на́бла" из-за сходства с остовом древнеассирийского музыкального инструмента наблы, а оператор получил название оператора Гамильтона, или оператора набла. .

См. также

• Оператор набла в различных системах координат