Уравнение Винера — Хопфа

Уравнение Винера-Хопфа - линейное интегральное уравнение с разностным ядром на положительной полуоси:

$\beta \varphi (x)=\lambda \int _{0}^{\infty }K(x-s)\varphi (s)\,ds+f(x),$

где где $\varphi (x)$ — искомая функция; $f(x)$, $K(x-s)$ — известные функции, $\lambda ,\beta$ — параметры. При $\beta =0$ называется уравнением Винера-Хопфа 1-го рода, при при $\beta =1$ называется уравнением Винера-Хопфа 2-го рода. Было получено Винером и Хопфом при решении задачи радиационного равновесия внутри звезд. Также используется в кибернетике, при решении задачи выделения полезного сигнала из его смеси с шумом.

Метод решения

Для решения вводятся т.н. односторонние функции $\varphi _{+}(x)$ и $f_{+}(x)$, равные $\varphi (x)$ и $f(x)$ при x>0 и равные 0 при x<0 и функция $\varphi _{-}(x)$, равная 0 при x>0. При помощи односторонних функций уравнение записывается в виде: $\beta \varphi _{+}(x)=\lambda \int _{-\infty }^{+\infty }K(x-s)\varphi _{+}(s)\,ds+f_{+}(x)+\varphi _{-}(x)$. Таким образом, при помощи односторонних функций область определения уравнения продолжается на отрицательную полуось. Затем применяется прямое преобразование Фурье $\varphi ^{\pm }(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi _{\pm }(x)e^{iux}dx$. Для уравнения-образа $\varphi ^{+}(u)={\frac {f^{+}+\varphi ^{-}}{\beta -\lambda K^{*}(u)}}$ решается краевая задача Римана, те определяются функции $\varphi ^{-}$ и $\varphi ^{+}$. Решение интегрального уравнения является обратным преобразованием Фурье функции $\varphi ^{+}$: $\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{+}(u)e^{-iux}du$.

Литература

1. Н. Винер. "Я-математик" М.: Наука, 1964, В 48 51 (09) УДК 510 (092), 353 стр. с илл., гл. 6 "Творческие успехи и радости. 1927-1931", с. 120-143;
2. Самойленко В.И., Пузырев В.А., Грубрин И.В. "Техническая кибернетика", учеб. пособие, М., изд-во МАИ, 1994, 280 стр. с илл., ISBN 5-7035-0489-9, ББК 14.2.5 С 17 УДК 621.396.6, гл. 3 "Синтез линейных систем. Оптимальные системы", п. 3.3 "Оптимизация систем по критерию МСКО. Уравнения Винера-Хопфа.", с. 60-63;
3. А.В. Манжиров, А.Д. Полянин "Справочник по интегральным уравнениям. Методы решения", М., "Факториал Пресс", 2000, 384 стр., ISBN 5-88688-046-1, ББК 517.2 М 23 УДК 517.9, гл. 5 "Методы решения интегральных уравнений", п. 5.9-1 "Уравнение Винера-Хопфа второго рода".