В линейной алгебре , матрицами Хессенберга называют "почти" треугольные матрицы.
Верхняя матрица Хессенберга - это квадратная матрица
H
∈
C
n
×
n
,
{\displaystyle H\in \mathbb {C} ^{n\times n},}
h
i
j
=
0
∀
i
>
j
+
1.
{\displaystyle h_{ij}=0\ \forall i>j+1.}
H
=
(
h
11
h
12
h
13
⋯
h
1
n
h
21
h
22
h
23
⋯
h
2
n
0
h
32
h
33
⋯
h
3
n
⋮
⋱
⋱
⋱
⋮
0
⋯
0
h
n
n
−
1
h
n
n
)
{\displaystyle H={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}&h_{13}&\cdots &h_{1n}\\h_{21}&h_{22}&h_{23}&\cdots &h_{2n}\\0&h_{32}&h_{33}&\cdots &h_{3n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&h_{nn-1}&h_{nn}\end{pmatrix}}}
Аналогично определяется нижняя матрица Хессенберга , как квадратная матрица, при транспонировании которой получается верхняя матрица Хессенберга:
H
=
(
h
11
h
12
0
⋯
0
h
21
h
22
h
23
⋱
⋮
h
31
h
32
h
33
⋱
0
⋮
⋮
⋮
⋱
h
n
n
−
1
h
n
1
h
n
2
h
n
3
⋯
h
n
n
)
{\displaystyle H={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}&0&\cdots &0\\h_{21}&h_{22}&h_{23}&\ddots &\vdots \\h_{31}&h_{32}&h_{33}&\ddots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &h_{nn-1}\\h_{n1}&h_{n2}&h_{n3}&\cdots &h_{nn}\end{pmatrix}}}
Такие матрицы были названы в честь немецкого математика Карла Хессенберга .
Матрицы Хессенберга получаются в методах подпространства Крылова в процессе построения ортогональных базисов , а также в задаче на нахождение собственных значений матрицы QR-методом .
